サンプルの自己共分散関数に関する質問

私は時系列分析の本を読んでおり、サンプルの自己共分散の式は本で次のように定義されています。

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\displaystyle\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

用。は平均です。 $\widehat{\gamma}(-h) = \widehat{\gamma}(h)\;$ $\;h = 0,1, ..., n-1$ $\bar{x}$

合計をではなく除算する理由を誰かが直感的に説明できますか？この本は、これは上記の式が非負定関数であるためであると説明しているため、で除算することが推奨されますが、これは私にはわかりません。誰かがこれを証明したり、例を示したりできますか？ $n$ $n-h$ $n$

私にとって最初は直感的に除算することになります。これは、自己共分散の不偏または偏りのある推定量ですか？ $n-h$

time-series probability mathematical-statistics

— ジェプソミ
ソース

時系列が正確にであり、他のすべての、またはが不明である場合、が発生するとき、合計は必ず停止する必要があります合計：合計に含まれる次の項（）にはがあり、はサンプルの一部ではありません。

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

x_{i}

$x_i$

i < 1

$i < 1$

i > n

$i >n$

t = n - h

$t=n-h$

x_{t + h} = x_{n}

$x_{t+h}=x_n$

t = n - h + 1

$t=n-h+1$

x_{n - h + 1 + h} = x_{n + 1}

$x_{n-h+1+h}=x_{n+1}$

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

— Dilip Sarwate、2013

@Dilipそれは問題だとは思いません：問題は定義でまたはで除算するかどうかに関係します。

n

$n$

n - h

$n-h$

\hat{γ}

$\hat{\gamma}$

— whuber

$\widehat{\gamma}$ は、共分散行列の作成に使用されます。「時間」を指定すると、ランダムベクトルの共分散と推定されます（それらの時点でランダムフィールドから取得）は、行列です。予測などの多くの問題では、そのようなすべての行列が非特異であることが重要です。推定共分散行列として、明らかにそれらは負の固有値を持つことはできません。そのため、それらはすべて正定でなければなりません。 $t_1, t_2, \ldots, t_k$ $X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k}$ $\left(\widehat{\gamma}(t_i - t_j), 1 \le i, j \le k\right)$

2つの式の違いが最も単純な状況

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

そして

{\hat{γ}}_{0} (h) = (n - h)^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}_0(h) = (n-h)^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

長さが場合に表示されます。たとえば、ます。以下のためのとの計算にそれのシンプルな $x$ $2$ $x = (0,1)$ $t_1=t$ $t_2 = t+1$

{\hat{γ}}_{0} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}),

$\widehat{\gamma}_0 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array} \right),$

これは特異ですが、

\hat{γ} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array})

$\widehat{\gamma} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right)$

これは固有値とを持ち、どちらも正定です。 $3/8$ $1/8$

同様の現象が発生します。ここで、は正定ですが、 _0-時間、たとえば、ランク行列に縮退します（そのエントリはと間で交互に表示されます）。 $x = (0,1,0,1)$ $\widehat{\gamma}$ $\widehat{\gamma}_0$ $t_i = (1,2,3,4)$ $1$ $1/4$ $-1/4$

（ここにパターンがあります：という形式の問題が発生します。） $x$ $(a,b,a,b,\ldots,a,b)$

ほとんどのアプリケーションでは、一連の観測値は非常に長いため、関心のあるほとんどの（よりはるかに小さい）では、と違いは重要ではありません。したがって、実際には区別は大したことではなく、理論的には正定性の必要性は、偏りのない推定値に対する考えられる可能性を大幅に無効にします。 $x_t$ $h$ $n$ $n^{-1}$ $(n-h)^{-1}$

— whuber
ソース

nhで割ったとしても、両方の推定量が偏った推定量であることに注意することが重要だと思います。

— 2013年

(n - h - 1)^{- 1}

$(n-h-1)^{-1}$

\hat{γ}

$\widehat{\gamma}$

{\hat{γ}}_{0}

$\widehat{\gamma}_0$

V {\hat{γ}}_{0} (h) = O (1 / (n - h))

$\mathbb{V} \hat{\gamma}_0(h) = O(1/(n-h))$

V \hat{γ} (h) = O (1 / n)

$\mathbb{V} \hat{\gamma}(h) = O(1/n)$

h

$h$

n

$n$

{\hat{γ}}_{0} (h)

$\hat{\gamma}_0(h)$

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$

\forall h

$\forall h$