ガウス過程とウィシャート分布の共分散行列

一般化されたウィシャートプロセス（GWP）に関するこのペーパーを読んでいます。この論文では、2乗指数共分散関数、つまりを使用して、さまざまな確率変数（ガウスプロセスに従って）間の共分散を計算します。次に、この共分散行列はGWPに従います。 $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

私は、線形共分散関数（） $K(x,x') = x^Tx'$ から計算された共分散行列は、適切なパラメーターを使用してウィシャート分布に従うと考えていました。

私の質問は、二乗指数共分散関数を使用してウィシャート分布に従う共分散をまだどのように仮定できるかです。また、一般的に、Wishart分散共分散行列を生成するための共分散関数に必要な条件は何ですか？

— ステディフィッシュ
ソース

混同されているのは、ガウス過程が定義されている周囲空間に関する共分散仕様と、有限次元のガウス確率変数を変換してウィシャート分布を生成する演算です。

もしあるとの次元のガウス確率変数（列ベクトル）は、平均0及び共分散行列、の分布は、ウィシャート分布です。は行列であることに注意してください。これは、2次形式の がガウス分布をウィシャート分布に変換する方法に関する一般的な結果です。これは、任意の正定共分散行列に当てはまります。iid観測がある場合は、 $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$ 次に、て、はウィシャート分布。割る、我々は経験的共分散行列を取得の推定値。

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

W_{1} + \dots + W_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$

n

$n$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

ガウスプロセスの場合、周囲空間が存在します。例として、であるとしましょう。考慮される確率変数は、周囲空間の要素によってインデックスが付けられます。つまり、プロセスを検討します。有限次元の周辺分布がガウスの場合、つまり for all。OPで言及されているように、共分散関数の選択により、共分散行列、つまり $\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) := (X (x_{1}), \dots, X (x_{p}))^{T} \sim N (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

cov (X (x_{i}), X (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{i, j} = K (x_{i}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$ の選択を無視すると、はWishart -distribution。

K

$K$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) X (x_{1}, \dots, x_{p})^{T}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

— NRH
ソース

これに答えてくれてありがとう。いくつか質問があります。あなたの答え-Gaussian distをWishart distに変換する変換が+ veの明確なcov行列の任意の選択に対して成立すると言うとき、このcov行列にはどのようなdiff選択肢がありますか？また、明確にするために-cov関数で定義されたcovマトリックスについて、iとjはガウスプロセスの周囲空間の要素を示しています（たとえば、時間プロセスの場合、時刻t_1およびt_2）。

— ステディフィッシュ2013

@steadyfish、はい、インデックスとは、環境空間内の点とを参照し、時間的なプロセスでは2つの時点を参照します。共分散行列は常に正の（半）確定です。製剤は、どのような方法で結果を制限するのではなく、それは、任意の選択のために保持していることを強調することを意図していなかった限り共分散行列です。私がいる可能性取り残さ単数正規分布などの無関係な問題に答えを乱雑に避けるためにちょうど半正定値ことができます

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

— NRH

@NRHに感謝します。アンビエントスペースについてポイントを取得します。共分散行列について、私の質問は、以外の共分散行列を定義する方法が他にあるかどうかでした（正定性または正の半定特性についてではありません）。（今回は問題が明確であることを願っています！）

x^{T} x

$x^{T}x$

— ステディフィッシュ

@steadyfish、ああ、なるほど。実際、転置や、ベクトルが行ベクトルであるか列ベクトルであるかについては、ずさんでした。これを正確にして、経験的共分散行列と理論的共分散行列の関係について少し追加しました。理論は観測値の観点から定義されていません。

— NRH 2013