混合モデルの表記法の調整

私は次のような表記法に精通しています：

$$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$$ 場合$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$、及び

$$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$$ 場合$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$および$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

ランダム切片モデルとランダム勾配+ランダム切片モデルのそれぞれに対して。

また、この行列/ベクトル表記に出会ったことがありますが、それは「お年寄り向けの混合モデル表記」であると言われています（私の兄によると）。

βは固定効果であり、

$$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$$ $\mathbf{\beta}$$\mathbf{b}$ランダム効果です。

私が正しく理解していれば、後者の表記は前者のより一般的な表記であり、後者の特定のバージョンです。

前者が後者からどのように派生するかを確認したいと思います。

ランダムな勾配とランダムな切片を持つ混合モデルを考えます。我々は唯一の回帰を持っていることを考えると、このモデルは、のように書くことができ Y のi jは意味、私を - 応答のグループjの th番目の観測、およびx i j およびϵ i

$$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$$ $y_{ij}$$i$$j$$x_{ij}$$\epsilon_{ij}$ それぞれの予測子とエラーの項。

このモデルは、次のように行列表記で表現できます。

$$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$$ と等価です

$$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$$

グループ、つまりj = 1 、… 、Jがあり、n jがj番目のグループの観測数を示すと仮定します。各グループに分割され、上記の式を次のように書くことができます。$J$$j=1,\dots,J$$n_j$$j$

$$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$$

ここで、はグループjの応答のすべての観測値を含むn j × 1行列であり、X jおよびZ jはこの場合n j × 2の設計行列であり、ϵ jは再びn j × $\mathbf{Y_j}$$n_j \times 1$$j$$\mathbf{X_j}$$\mathbf{Z_j}$$n_j \times 2$$\epsilon_j$$n_j \times 1$行列です。

それらを書き出すと、次のようになります。

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ and $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

The regression coefficient vectors then are

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$$b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

To see that the two model formulations are indeed equivalent, let us look at any of the groups (let's say the $j$-th one).

$$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$$

Applying above definitions, one can show that the $i$-th row of the resulting vector is just

$$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$$ where $i$ ranges from $1$ to $n_j$.