マルコフ連鎖の周期性の直観的な説明

マルコフ連鎖の周期性とは何かを誰かが直感的に説明できますか？

次のように定義されます。

すべての状態の$i$で$S$

$d_i$ GCD =$\{n \in \mathbb{N} | p_{ii}^{(n)} > 0\} =1$

あなたの努力に感謝！

まず第一に、あなたの定義は完全に正しいわけではありません。Cyanによって提案されたウィキペディアの正しい定義を次に示します。

周期性（ソース：wikipedia）

状態iへの復帰がkタイムステップの倍数で発生する必要がある場合、状態iの周期はkです。正式には、州の期間は次のように定義されます

k = $gcd\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\}$

（「gcd」は最大公約数です）。状態の周期がkであっても、kステップで状態に到達できない場合があることに注意してください。たとえば、{6、8、10、12、...}タイムステップの状態に戻ることができるとします。このリストには2は表示されませんが、kは2になります。

k = 1の場合、状態は非周期的であると言われます。不定期に状態iに戻ることができます。言い換えれば、すべてのn '≥nに対してnが存在する場合、状態iは非周期的です。

$Pr(X_{n'} = i | X_0 = i) > 0.$

そうでなければ（k> 1）、状態は周期kで周期的であると言われます。すべての状態が非周期的である場合、マルコフ連鎖は非周期的です。

私の説明

周期性という用語は、何か（イベント、またはここ：特定の状態の訪問）が定期的に発生しているかどうかを表します。ここで、時間は訪問した州の数で測定されます。

最初の例：

ここで、時計がマルコフチェーンを表し、1時間ごとに状態がマークされ、12の状態になったとします。すべての状態は、確率= 1で12時間（状態）ごとに時針によって訪問されるため、最大公約数も12です。

したがって、すべての（時間）状態は期間12で周期的です。

2番目の例：

最後のコイントスの結果を表す、状態と状態のとから始まるコイントスのシーケンスを説明するグラフを想像してください。h e a d s t a i l $start$$heads$$tails$

$heads$$start$$tails$$start$

今、あなたが国家いると想像してください。再びを訪問する前に訪問しなければならない州の数は、1、2、3などになる可能性があります。発生するため、確率は0より大きくなりますが、いつ予測できるかは正確ではありません。したがって、再びアクセスする前に発生する可能性のあるすべてのアクセス数の最大公約数は1です。これは、が非周期的であることを意味します。hは電子D sの時間E D S hは電子D $heads$$heads$$heads$$heads$

同じことが当てはまります。には適用されないため、グラフ全体は非周期的ではありません。を削除、削除されます。s t a r t s t a r $tails$$start$$start$

多くの場合、チェーンの何らかの状態に陥る可能性がゼロ以外の可能性があるかどうかを知りたいと思っています。このような状態は「非周期的」状態と呼ばれます。それらは簡単に定量化できますに対して得られない場合、そのような状態は非周期的であると主張します（は状態にとどまる確率です）。非周期的ではない状態は周期的です。しかし、用語は少し不幸です。なぜなら、期間ごとに通常は固定値を意味し、その後はシステムが繰り返されるからです。$n \gt 0$$P^n_{ii} = 0$$P_{ii}$$i$

マルコフ連鎖では、期間に対して「常に固定値」の贅沢はありません。のステップで周期的な状態に戻る場合があります。チェーンを実行し、数字を書き留めて、これらの数字を取得します。おそらく、この定義には他の定理を証明する上でいくつかの利点があります。私はそれについて何の手がかりも持っていません。あなたは数ダウンチェーンにメモをシミュレートしたくない場合は、書き留めることができ、電力への遷移行列、そのようなことを提起されたと取るそれらの数字。$> 1$gcd$n$$P$$P^n_{ii}=0$gcd