無限ランダム幾何学グラフでランダムウォークを行うロボットの密度

ノードの位置が密度ポアソン点プロセスに従い、エッジがよりも近いノード間に配置されている無限ランダム幾何学グラフを考えてみます。したがって、エッジの長さは次のPDFに従います。 $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

上のグラフで、原点を中心とする半径の円の内側のノードを考えます。時間で、言及した各ノードの内側に小さなロボットを配置するとします。つまり、平面上のロボットの密度は次のように与えられます。 $r$ $t=0$

ここで、は原点からの距離です。次の図は、ロボットの初期配置の例を示しています。

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$

l

$l$

各タイムステップで、ロボットは隣人の1つにランダムに移動します。

さて、私の質問は、でのロボットの密度関数は何ですか？ときに密度関数を計算することは可能ですか？ $t>0$ $t \rightarrow \infty$

すみません、私は決して数学者ではありません。不明な点がありましたらお知らせください。

— ヘリウム
ソース

編集者または著者としてWolfgang Woessの本を検索します。最近のコレクション：ランダムウォーク、境界、スペクトル。Birkhauser、2011。2000年から（ケンブリッジ大学出版局）：ランダムなグラフとグループをランダムに歩きます。

— ディアハンター

ハンターありがとうございます。私は彼の2011年の本をざっと見ましたが、関連するものは何も見つかりませんでした。今は2000にアクセスできませんが、見つけたら調べます。本からもっと具体的なことを覚えているなら、私に知らせてください。

— ヘリウム

スタートです。

ましょう $r = d/2$

$t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ th power）。あなたはこれを明示的に解決できるはずです。原点からすべて同じ距離にあるという事実を使用することができます $\cal L_1$

$t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ ステップます。そのグラフの隣接行列を作成して、格子の場合と同じように操作してみてください-これを行う方法はわかりませんが、あなたを助けるためにいくつかのマルコフ理論があると思います。この分布が原点の周りで対称でなければならないことを知っているという事実を私たちが利用できることの1つは、特に密度は原点からの距離の関数にすぎません。これは物事をより簡単にするはずなので、考慮する必要があるのは、距離に確率だけです。 $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ $X$

$U$ $M$ $MU + X$

$X$

— ユーザー1448319
ソース

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

$n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$