不明/不明な機能変数がある回帰を実行することは可能ですか？

不明/不明な機能変数がある回帰を実行することは可能ですか？

私が持っていると言います $y_n = a_0 + a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3$ 機能変数の値を測定できない/測定できない $x_3$。係数を確認するために回帰を実行できますか$a_i$？

どのように統計の知識がある場合はどうですか $x_3$配布されていますか？私が知っているなら$x_3$ ガウス分布から引き出されます $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$、既知の $\sigma$ これにより、回帰を実行して、 $a_i$？

線形モデルの完全な式は（準行列形式）です。

したがって、制御対象の変数に対して複数の係数があり、次に $\epsilon$これは、含まれている変数で説明しなかった他のすべてです。

このエラー項には、考慮していないすべての変数が含まれています。それらの情報がないため、または単にそれらを知らないためです（ランダム偏差）。

したがって、この用語の何がどの未知の用語に属しているかを知る方法はありません。

x3がどのように配布されているかについての統計の知識がある場合はどうですか？

の回帰を行う場合 $y$ オン $x_1$ そして $x_2$、それからあなたが教育を受けた推測をどのようにしようと思っているなら $x_3$ これらのそれぞれと相関しているので、これらの推測が、観察できる場合に推定する係数がどのように変化するかを計算できます。 $x_3$ 完全な回帰を実行しました。

たとえば、 $x_3$ とは相関していません $x_1$。その後

$\alpha_{2, \text{your regression}} =\alpha_{2, \text{full regression}} + \alpha_3 \cdot \frac{cov(x_3, x_2)}{var(x_2)}$

だから $x_3$ との相関は弱いと思われます $y$ または $x_1$ そして $x_2$それほど変化しないでしょう。そうであれば、これらの省略された変数バイアスの式を使用して、物事がどのように変化するかを予測できます。

それは常に可能です...しかし、あなたの見積もりは多くの場合バイアスされます。最も有利なケースが発生します：
（a）いつ$x_{3n}$ 他のリグレッサ、この場合はリグレッションと相関していません $y_n$ オン $(\iota,x_{1},x_{2})$ そして、あなたは公平な見積もりを持っています $a_0,a_1,a_2$（Frish-Waugh-Lovellの定理）
（b）（a）に加えて、$\sigma$ そして $x_3 \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$、それからあなたも識別することができます $a_3$：描く $N$ iid値 $x_{3n} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ そして後退 $y_n$ オン $(\iota,x_{1},x_{2},x_{3})$。