Wolfram Mathworldは、確率密度関数で離散確率分布を記述する間違いを犯しますか？

通常、離散変数にわたる確率分布は、確率質量関数（PMF）を使用して記述されます。

連続確率変数を使用する場合、確率質量関数ではなく確率密度関数（PDF）を使用して確率分布を記述します。

- ディープラーニンググッドフェロー、Bengio、およびCourvilleによって

しかし、Wolfram MathworldはPDFを使用して、離散変数の確率分布を記述しています。

これは間違いですか？またはそれは大した問題ではありませんか？

— czlsws
ソース

私の意見ではそれはだらしないが、あまり重要ではない。彼らが測定理論の観点から確率に近づいたとしても、それは防御可能です。（奇妙なことに、PMFに関する記事がないようです。）

— デイブ

pmfはカウントメジャーに対する密度です

— 西安

3つの要素で指定された測定空間のレベルで確率理論を議論すると、pdfとpmfに違いはないため、pmfは削除されます。すべての分布は、pdfで指定できます。wolframは数学のウェブサイトですので、彼らが確率について話すために高レベルの数学を使用することは驚くことではありません。ここに無料の読書があります。stat.washington.edu/~pdhoff/courses/581/LectureNotes/...

— user158565

回答:

それは間違いではありません。測度理論を介した確率の形式的取り扱いでは、確率密度関数は「支配測度」（「参照測度」とも呼ばれます）に関して取られた関心のある確率測度の導関数です。整数の離散分布の場合、確率質量関数は、測定値を基準とした密度関数です。確率質量関数は特定の種類の確率密度関数であるため、密度関数と呼ばれるこのような参照を見つけることがありますが、このように参照するのは間違っていません。

確率と統計に関する通常の談話では、しばしばこの用語を避け、「質量関数」（離散確率変数の場合）と「密度関数」（連続確率変数の場合）を区別して、離散分布と連続分布を区別します。確率の全体的な側面を述べる他の状況では、区別を無視し、両方を「密度関数」と呼ぶ方がよい場合がよくあります。

— モニカを復活させる
ソース

ご回答有難うございます。DOES treatment平均表記、視点、条約または何か他の「確率の正式な治療で」？

— czlsws

ここで「形式的な扱い」について話すとき、私は測定理論のサブセットである確率理論の現代の基礎に言及しています。それが、確率の正式な基盤として受け入れられている数学的理論です。

— モニカを

「確率密度関数は、関心のある確率測度の導関数です」ある意味では、導関数よりも「反積分」のようです。一様分布などの不連続なPDFがあり、離散分布はディラックデルタ関数の合計として扱うことができます。それらの場合、それを適用するには、通常の理解をはるかに超えたデリバティブの概念を一般化する必要があります。

— 蓄積

@蓄積-均一分布はどのように不連続ですか？...そして、測定理論は、Calc IおよびIIの通常の理解が提供するよりもはるかに一般的な統合と微分の扱いです。

— jbowman

@蓄積：はい、それは公正な特徴であり、実際、それが行われています。技術的には、密度はラドン-ニコダイム導関数であり、これは実際にあなたが説明するタイプの「反積分」のタイプです。

— モニカの復活

メジャー理論の観点からのより理論的な答えに加えて、統計プログラミングでpmfsとpdfを区別しないことも便利です。たとえば、Rには豊富な組み込みディストリビューションがあります。各ディストリビューションには、4つの機能があります。たとえば、正規分布の場合（ヘルプファイルから）：

dnorm gives the density, pnorm gives the distribution function, qnorm gives the quantile function, and rnorm generates random deviates.

Rユーザーは急速にd,p,q,rプレフィックスを使用するようになります。ドロップdや使用mなどの操作を2項分布などに行わなければならない場合は、面倒です。代わりに、すべてがRユーザーが期待するとおりです。

dbinom gives the density, pbinom gives the distribution function, qbinom gives the quantile function and rbinom generates random deviates.

— ジョン・コールマン
ソース

scipy.stats区別されるのは、pdfメソッドを持つオブジェクトとメソッドを持つオブジェクトがありますpmf。それは本当に私を悩ます！

— マシュードゥルーリー