有限サポートのある分布を一意に定義する瞬間はいくつですか？

簡単な質問ですが、他の場所では正確な答えを見つけることができませんでした。正確な確率質量関数を一意に識別するには、有限サポートの離散確率分布のモーメントがいくつ必要ですか？分布が有界間隔内の最大点をサポートしていることがわかっていると仮定します（私の目的では、間隔は）。ただし、点はわかりません。$N$$[0, 1]$

分布がいくつかの瞬間によって一意に識別されるのは事実ですか？私の仮説は、それが最初の瞬間かもしれないということです。私たちが識別するために持っているので質点とそのの個々の確率を、一つは私たちが必要だと思うかもしれません方程式を、それぞれの瞬間は、私たちに1つの方程式、プラス制限その確率の総和を与える。しかし、これらの方程式は質点で線形ではないため、特定されたことはすぐにはわかりません。$2N-1$$N$$N$$2N$$1$

私はを認識していハウスドルフモーメント問題、私は瞬間の無限列が一意に任意の有界分布を特定することを知っているので、私は特に、さらに、有限サポートを持つディストリビューションにドメインを制限するに興味を持っています。参考文献もいただければ幸いです！

ありがとう！

LET数字上でサポート分布で割り当てる確率そのそれぞれに 定義により、その（生の）次数モーメントは$F$$x_1 \lt x_2 \lt \ldots \lt x_n$$p_i \gt 0$$x_i.$$k$

$$\mu_k = \sum_{i=1}^n p_i x_i^k.$$

最初に、この状況に関する一連の観察から始めます。基本的なツールは、に対する一連のベクトルです 書くと各モーメントはベクトル積として表すことができます$\mathbf{x}_k = (x_1^k, x_2^k, \ldots, x_n^k)$$k=0, 1, \ldots,n-1.$$\mathbf{p} = (p_1,p_2,\ldots, p_n),$

$$\mu_k = \sum_{i=1}^n p_i x_i^k = \mathbf{p}\, \mathbf{x}_k^\prime.$$

1. コレクションは線形独立です。$\{\mathbf{x}_0,\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_{n-1}\}$ これを示すには、逆のことを想定します。つまり、係数がすべてゼロではなく、 コンポーネントごとに、 は、各 ことをます各は多項式の根としてそのような多項式は最大で異なる根を持ち、区別と矛盾し$c_k$

   $$\sum_{k=0}^{n-1} c_k \mathbf{x}_k = \mathbf{0}.\tag{1}$$ $(1)$$i=1,2,\ldots, n,$ $$\sum_{k=0}^{n-1} c_k x_i^k = 0.$$ $x_i$$c(T)=c_{n-1}T^{n-1}+c_{n-2}T^{n-2}+\cdots + c_0.$$\operatorname{deg}(c)\le n-1$$n$ $x_i.$

2. すべてのモーメントは、最初のモーメントによって決定され$n$$\mu_0,\mu_1,\ldots,\mu_{n-1}.$ 上記の結果は、ベクトルが基礎であることを示してい したがって、任意のは線形結合すなわち、係数が存在（のみによって決定れる） したがって$\mathcal{X} = \{\mathbf{x}_k,k=0,1,\ldots, n-1\},$$\mathbb{R}^n.$$m,$ $\mathbf{x}_m$$\mathbf{x}^k,$ $k=0,1,\ldots,n-1;$$\,_ma_k$$x_i$

   $$\mathbf{x}_m = \,_ma_0\mathbf{x}_0 + \,_ma_1\mathbf{x}_1 + \cdots + \,_ma_{n-1}\mathbf{x}_{n-1}.$$ $$\mu_m = \mathbf{p}\,\mathbf{x}_m^\prime = \mathbf{p}\,\sum_{i=0}^{n-1}\,_ma_k \mathbf{x}_k^\prime = \sum_{i=0}^{n-1}\,_ma_k \mathbf{p}\,\mathbf{x}_k^\prime= \sum_{i=0}^{n-1}\,_ma_k \mu_k.$$

3. 数値と最初のモーメントは決定し$x_i$$n$$\mathbf{p}.$ 実際、最初のモーメントは、双対基底における係数です$n$$\mathbf{p}$$\mathcal X.$

4. の最初のモーメントは、定数によってシフトされた分布を決定し、それによって決定され$n$$F$$\lambda.$ これは、でサポートされている確率分布 デモは簡単です。二項定理を使用して、を$x_1-\lambda, x_2-\lambda, \ldots, x_n-\lambda$$p_i.$$(x_i-\lambda)^k$$x_i^0, x_i^1, \ldots, x_i^k.$

問題の部分が存在するかどうか陽性確率ベクトル及び支持点決定分布有します と同じ瞬間があります。両方の分布をシフトして、状況を非負のサポートのある分布に簡略化します。とることにより：モーメント結局支配任意の大きさ、最大の支持点をこれが可能であるだけおよび$n^\prime,$$\mathbf{q},$$y_1\lt y_2\lt \ldots \lt y_{n^\prime},$$G$$F.$$\lambda=-\min(x_1,y_1),$$m$

$$q_{n^\prime} y_{n^\prime}^m \approx \mu_m \approx p_n x_n^m$$ $q_{n^\prime}=p_n$$y_{n^\prime} = x_n.$ 帰納的に続けて、およびを結論付けつまり、$n=n^\prime,$ $\mathbf{q}=\mathbf{p},$$\mathbf{x}_1=\mathbf{y}_1:$$G=F.$

最後に、とを決定するためにいくつのモーメントを知る必要がありますか？によって定義されたマップその導関数は行列です$\mathbf{p}$$\mathbf{x}$$f:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\approx \mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}^{2n}$

$$f(\mathbf{p}^\prime, \mathbf{x}^\prime) = (\mathbf{p}\mathbf{x}_0^\prime, \mathbf{p}\mathbf{x}_1^\prime, \ldots, \mathbf{p}\mathbf{x}_{2n-1}^\prime)^\prime.$$ $2n\times 2n$

$$Df(\mathbf{p}^\prime, \mathbf{x}^\prime) = \pmatrix{1 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ x_1 & \cdots & x_n & p_1 & \cdots & p_n \\ x_1^2 & \cdots & x_n^2 & 2p_1x_1 & \cdots & 2p_n x_n \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_1^{2n-1} & \cdots & x_n^{2n-1} & (2n-1)p_1x_1^{2n-2} & \cdots & (2n-1)p_nx_n^{2n-2}}$$

ヴァンデルモンドのような構造、その決定のための簡単な式を得ることを可能にします、

$$\operatorname{Det}\left(Df(\mathbf{p}^\prime, \mathbf{x}^\prime)\right) = -(p_1p_2\cdots p_n)^{2n} \left(\prod_{1\le i\lt j \le n}(x_i-x_j)\right)^4.$$

いずれもゼロではなく、すべてのが異なるため、これはゼロではありません。定理が逆関数を意味局所的に可逆である：すなわち、提供の範囲内にある、逆が存在しますは近傍にあり あれは、$p_i$$x_i$$f$$\mathbf{\mu}=(\mu_0,\mu_1,\ldots,\mu_{2n-1})$$f$$f^{-1}\subset\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n$$\mathbf{\mu}.$

最初のモーメントは、それらのモーメントに対応する離散的な解のセットを決定します。$2n$$\mu_0,\mu_1,\ldots,\mu_{2n-1}$$(\mathbf{p},\mathbf{x})$

すでに示したように、そのようなすべてのソリューションは同じ分布に対応します。変数のインデックスを並べ替えることだけが異なります。$1,2,\ldots, n$