更新（2019-06-25）：「非可逆MAモデルは意味がありますか？」からタイトルを変更 質問333802と区別します。

MA（）モデルを確認しているときに、これらのスライドに出くわしました（Alonso and Garcia-Martos、2012）。著者は、すべてのMAプロセスは定常的ですが、可逆的でない場合、$q$

「過去の観測の効果が距離とともに増加する逆説的な状況。」

これは、MA（1）プロセスの分解によって見ることができます： into ここで明らかには、現在にますます影響を与える履歴に変換されます。これについての2つのことは私を悩ませます：

$$y_t = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1}$$ $$y_t = \epsilon_t -\sum_{i=1}^{t-1} \theta ^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0,$$ $|\theta|>1$

1. 何かの影響に一時的な遅れがある状況を想像するのは難しくありません
2. この相互検証された投稿には、次のような答えがあります。

" ほぼすべてのガウス、非可逆MA（q）モデルを同じプロセスを表す可逆MA（q）モデルに変更できるため、可逆性はそれほど重要ではありません "

過去の観測の影響が距離とともに増加するのは本当ですか？もしそうなら、それはモデルを現実世界の現象を記述するのに不適当にしますか？

更新（2019-11-09）これは、時系列分析とそのアプリケーション（85ページのShumwayとStoffer）でこれを見つけました便宜上、モデルの非可逆バージョンを選択したい場合があります。

大したことではない-それは強く静止していて、ホワイトノイズに近づく

非可逆のプロセスは完全に理にかなっており、特に奇妙な動作を示しません。プロセスのガウスバージョンを使用すると、連続する観測で構成されるすべてのベクトルに対して、と共分散：$\text{MA}(1)$$\mathbf{y} = (y_1,...,y_n)$$\mathbf{y} \sim \text{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$

$$\mathbf{\Sigma} \equiv \frac{\sigma^2}{1+\theta^2} \begin{bmatrix} 1+\theta^2 & -\theta & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -\theta & 1+\theta^2 & -\theta & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \theta & 1+\theta^2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\theta^2 & -\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\theta & 1+\theta^2 & -\theta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta & 1+\theta^2 \\ \end{bmatrix}.$$

ご覧のとおり、これは非常に定常的なプロセスであり、場合でも、複数のラグが離れている観測は独立しています。これは、そのような観察が根本的なホワイトノイズプロセスからの影響を共有しないという事実を考慮すると、驚くべきことではありません。「過去の観測値が距離とともに増加する」という振る舞いは見られず、あなたが述べた方程式はこれを確立していません（詳細については下記を参照）。$|\theta|>1$

実際、として （検討している現象の中で最も極端なケース）は、モデルを漸近的に単純なホワイトノイズプロセスに還元します。これは、最初の遅延誤差項の大きな係数が同時誤差項の単位係数を支配し、モデルを漸近的に形式、基礎となるホワイトノイズプロセスのちょうどスケーリング及びシフトされたバージョンです。$|\theta| \rightarrow \infty$$y_t \rightarrow \theta \epsilon_{t-1}$

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方程式に関する注意：質問の方程式では、観測可能な時系列の現在の値を、幾何学的に増加する過去の値の合計と、残りの誤差項として記述します。これは、「過去の観測の効果は距離とともに増加する」ことを示すと主張されています。ただし、方程式には多数のキャンセル項が含まれます。これを確認するために、過去の観察可能な用語を展開して、用語のキャンセルを示します。

$$\begin{equation} \begin{aligned} y_t &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i (\epsilon_{t-i} - \theta \epsilon_{t-i-1}) - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - ( \theta \epsilon_{t-1} - \theta^2 \epsilon_{t-2} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^2 \epsilon_{t-2} - \theta^3 \epsilon_{t-3} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - ( \theta^3 \epsilon_{t-3} - \theta^4 \epsilon_{t-4} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - \ \cdots \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^{t-1} \epsilon_1 - \theta^t \epsilon_0 ). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

この拡張から、観測可能な時系列の過去の値の幾何学的に増加する合計は、前のエラー項を取得するためだけにあることがわかります。

$$\epsilon_{t-1} = \sum_{i=1}^{t-1} \theta^{i-1} y_{t-i} + \theta^{t-1} \epsilon_0.$$

ここで起こっていることは、前のエラー項を厄介な方法で表現しようとしているということだけです。系列の幾何学的に重み付けされた値の長いキャンセル合計が目的の誤差項に等しいという事実は、過去の観測が現在の時系列値に「影響」を与えていることを示していません。それは単にあなたが表現したい場合ことを意味しの面でその後、あなたがそれを行うことができる唯一の方法は、観察可能な一連の幾何学的加重和で追加することです。$\epsilon_{t-1}$$\epsilon_0$

「それらの[非可逆MAモデル]が発生する現実の世界から」の例を求めるのは理に適っていないと思います。観察するのはです。リンク先の投稿で説明しようとしていますが、これらのデータの同時分布は、ほとんどの場合（MA多項式に1つまたは複数の単位根がある場合を除いて）、非可逆の数のいずれかによって生成されたものと同じようにモデル化できますMAモデルまたは対応する可逆MAモデル。したがって、データだけに基づいて、「現実の世界」の基礎となるメカニズムが非可逆モデルまたは可逆モデルのメカニズムに対応しているかどうかを知る方法はありません。そしてARIMAモデルは、そもそもデータ生成プロセスのメカニズムモデルとして意図されていません。 $y_1,y_2,\dots,y_n$

つまり、これは簡単に言えば、パラメーター空間を反転可能なモデルのパラメータースペースに制限して、モデルを識別可能にすることで、AR形式に簡単に入れられるモデルを持つという追加の利点があります。$(\infty)$