正規リンク関数にはどのような有用なプロパティがありますか？

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そこで、ここでは一般化線形モデルを研究しています。私はこの質問が非常に単純で単純であることを知っていますが、なぜリンク正準関数がそれほど有用であるのか正確にはわかりません。誰かがこの問題について直感を教えてくれませんか？

— user1337
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私はこの質問が非常に単純で単純であることを知っていますが、なぜリンク正準関数がそれほど有用であるのか正確にはわかりません

本当に便利ですか？正規のリンク関数は、ほとんどが数学的なプロパティです。これは数学を多少簡略化しますが、モデリングでは、とにかく科学的に意味のあるリンク関数を使用する必要があります。

では、正規リンク関数にはどのような追加のプロパティがありますか？

それは十分な統計の存在につながります。それはおそらくより効率的な推定を意味するかもしれませんが、最新のソフトウェア（glmR など）は、正規リンクを他のリンクと異なる方法で処理するようには見えません。
これはいくつかの式を単純化するので、理論的な開発が容易になります。多くの優れた数学的特性については、GLMの「リンク関数」と「標準リンク関数」の違いをご覧ください。

したがって、利点はほとんど統計的ではなく、ほとんどが数学的およびアルゴリズム的であるようです。

いくつかの詳細：レッツ $Y_1, \dotsc, Y_n$ 指数分散ファミリーモデルから独立した観察すること

f_{Y} （ y; θ 、 φ ） = \exp {（ y θ - b （ θ ） ） / a （ φ ） + c （ y 、 φ ）}

$f_Y(y;\theta,\phi)=\exp\left\{(y\theta-b(\theta))/a(\phi) + c(y,\phi)\right\}$ の期待と

E Y_{i} = μ_{i}

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E Y_i=\mu_i$ と線形予測

η_{i} = x_{i}^{T} β

$\eta_i = x_i^T \beta$ の共変量ベクトルと

x_{i}

$x_i$ 。場合は、リンク機能は、正規のある

η_{i} = θ_{i}

$\eta_i=\theta_i$ 。この場合、尤度関数は次のように書くことができる

L （ β; φ ） = \exp {\underset{私}{Σ} \frac{y_{私} {バツ}_{私}^{T} β - b （ {バツ}_{私}^{T} β ）}{a （ φ ）} + \underset{私}{Σ} c （ y_{私} 、 φ ）}

$\mathcal{L}(\beta; \phi)=\exp\left\{ \sum_i \frac{y_i x_i^T \beta -b(x_i^T \beta)}{a(\phi)}+\sum_i c(y_i,\phi)\right\}$ によって分解定理我々は、と結論付けることができる

\sum_{i} x_{i} y_{i}

$\sum_i x_i y_i$ のために十分です

β

$\beta$ 。

詳細には触れずに、IRLSに必要な方程式を簡略化します。同様に、このグーグル検索は、単純化の文脈で言及された正規のリンクを見つけることがほとんどで、統計的な理由ではないようです。

— kjetil b halvorsen
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おそらくそれは数学的に有用です。

— AdamO

はい、これは私が言おうとしたことです！

— kjetil b halvorsen

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正準リンク関数は、GLMの平均分散関係を記述します。たとえば、二項確率変数はリンク関数 $\mu = \exp( \nu) /(1-\exp(\nu))$ $\nu$ $\mathbf{X}^T\beta$ $\frac{\partial }{\partial \nu} \mu = \mu(1-\mu)$ $\mu = \exp(\nu)$ $\frac{\partial }{\partial \nu} \mu = \mu$

一般化線形モデルは、次の形式の推定方程式を解きます。

S （ β ） = D V^{- 1} （ Y - g （ {バツ}^{T} β ） ）

$S(\beta) = D V^{-1} (Y - g(\mathbf{X}^T\beta))$

$D = \frac{\partial}{\partial \beta} g(\mathbf{X}^T\beta)$ $V=\text{var}(Y)$ $D = V$

S （ β ） = {バツ}^{T} （ Y - g （ {バツ}^{T} β ） ）

$S(\beta) = \mathbf{X}^{T}(Y - g(\mathbf{X}^T\beta))$

Wedderburnの1976年の準尤度に関する論文で述べたように、正規リンクには、期待される情報と観測される情報が同じであり、繰り返し重み付けされた最小二乗がNewton-Raphsonと同等であるため、推定手順と分散推定が簡略化されます。

— アダモ
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