順序統計を与えられた一様確率変数の条件付き期待

仮定X = $(X_1, ..., X_n)$〜$U(\theta, 2\theta)$、$\theta \in \Bbb{R}^+$。

どのようにして$E[X_1|X_{(1)},X_{(n)}]$、ここで$X_{(1)}$と$X_{(n)}$は、それぞれ最小と最大の次数統計ですか？

私の最初の考えは、注文統計が範囲を制限するため、それは単に$(X_{(1)}+X_{(n)})/2$であると考えられますが、これが正しいかどうかはわかりません！

IID試料の場合考える$X_1, X_2, \ldots, X_n$ユニフォームから$(0,1)$分布。でこれらの変数をスケーリング$\theta$とすることによって、それらを翻訳$\theta$制服でそれらを付与する$(\theta, 2\theta)$分布。この問題に関連するすべてのものは同じように変化します：注文統計と条件付き期待。したがって、この特別なケースで得られた答えは一般的に成り立ちます。

してみましょう$1\lt k\lt n.$https://stats.stackexchange.com/a/225990/919（または他の場所）で 推論をエミュレートすることにより、$(X_{(1)}, X_{(k)}, X_{(n)})$の共同分布が密度関数を持っていることを見つけます

$$f_{k;n}(x,y,z) = \mathcal{I}(0\le x\le y\le z \le 1) (y-x)^{k-2}(z-y)^{n-k-1}.$$

$(x,z)$を修正し、これを$y,$関数として見ると、スケーリングされて区間[ x 、z ]に変換されたベータ$(k-1, n-k)$分布として認識できます。 したがって、スケール係数はz − xでなければならず、変換は0からxになります。$[x,z].$$z-x$$0$$x.$

ベータ$(k-1,n-k)$分布の期待値は$(k-1)/(n-1),$ため、$X_{(k)}$条件付き期待値は、スケーリングされ、変換された期待値でなければなりません。つまり、

$$\mathbb{E}\left(X_{(k)}\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) = X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{k-1}{n-1}.$$

ケース$k=1$および$k=n$は取るに足らないものです。それらの条件付き期待値は、それぞれ$X_{(1)}$および$X_{(k)}.$

すべての注文統計の合計の期待値を見つけましょう：

$$\mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^n X_{(k)}\right) = X_{(1)} + \sum_{k=2}^{n-1} \left(X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{k-1}{n-1}\right) + X_{(n)}.$$

代数は、合計

$$\sum_{k=2}^{n-1}(k-1) = (n-1)(n-2)/2.$$

したがって

$$\eqalign{ \mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^n X_{(k)}\right) &= (n-1)X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{(n-1)(n-2)}{2(n-1)} + X_{(n)} \\ &= \frac{n}{2}\left(X_{(n)}+X_{(1)}\right). }$$

最後に、$X_i$は同じように分布しているため、すべて同じ期待値を持っていますが、

$$\eqalign{n\mathbb{E}\left(X_1\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) &= \mathbb{E}\left(X_1\right) + \mathbb{E}\left(X_2\right) + \cdots + \mathbb{E}\left(X_n\right)\\ &= \mathbb{E}\left(X_{(1)}\right) + \mathbb{E}\left(X_{(2)}\right) + \cdots + \mathbb{E}\left(X_{(n)}\right) \\ &= \frac{n}{2}\left(X_{(n)}+X_{(1)}\right), }$$

独自のソリューションで

$$\mathbb{E}\left(X_1\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) = \left(X_{(n)}+X_{(1)}\right)/2.$$

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$(a,a)$$a \lt 1.$$0$$1$$X_{(n)}\lt 1/2,$$X_{(1)}$$(X_{(1)}+X_{(n)})/2;$$X_{(1)}\gt 1/2,$$X_{(n)}.$

$(X_{(1)},X_{(n)})$$\theta$

$X_1,X_2,\ldots,X_n$

$$\begin{align} f_{\theta}(x_1,\ldots,x_n)&=\frac{1}{\theta^n}\mathbf1_{\theta<x_{(1)},x_{(n)}<2\theta} \\&=\frac{1}{\theta^n}\mathbf1_{\frac{1}{2}x_{(n)}<\theta<x_{(1)}}\quad,\,\theta\in\mathbb R^+ \end{align}$$

$T=(X_{(1)},X_{(n)})$$\theta$$T$

$E\,[X_1\mid T]$$E(X_1)=\frac{3\theta}{2}$

$\frac{1}{\theta}(X_i-\theta)\stackrel{\text{i.i.d}}\sim \mathsf U(0,1)$$\frac{1}{\theta}(X_{(n)}-\theta)\sim\mathsf{Beta}(n,1)$$\frac{1}{\theta}(X_{(1)}-\theta)\sim \mathsf{Beta}(1,n)$

$E(X_{(n)})=\frac{n\theta}{n+1}+\theta=\frac{(2n+1)\theta}{n+1}$$E(X_{(1)})=\frac{\theta}{n+1}+\theta=\frac{(n+2)\theta}{n+1}$

したがって、

$$E\left[\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})\right]=\frac{1}{2(n+1)}\left((n+2)\theta+(2n+1)\theta\right)=\frac{3\theta}{2}$$

$\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})$$\frac{3\theta}{2}$

$E\,[X_1\mid T]=\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})$