Matérn共分散関数の2乗指数への収束

Matérn共分散関数は、2乗された指数共分散関数に収束します。

GPMLブックやWikipediaなどの多くのソースがこの結果を述べています。それらのどれも詳細を提供しません。

詳細と証拠を提供する参考文献を探しています。特に、収束の種類については疑問です。

Matérn関数は、

$$f_{\nu}(x) = C_\nu |x|^{\nu} K_{\nu}\left(|x|\right)\tag{*}$$

ここで、は正規化定数（値を等しくするため）であり、$C_\nu$$f_\nu(0)$$1$$x = \sqrt{2\nu}\, d/\rho.$

（これは、が表すウィキペディアの表記と一致し）$x$$\sqrt{2\nu} d/\rho.$

2つのガウスランダムベクトルの内積のモーメント生成関数（基本的な手法を使用）で示されているように、

Matern関数は、2つのランダムなベクトルのドット積の分布の密度関数に比例します。各ベクトルは成分を持ち、すべての成分は標準の正規変数として独立して分布します。$2\nu+1$

このような内積は、ベクトルの対応する成分の独立して同一に分布した積の合計です。それらのそれぞれは、2つの独立した標準正規変数との積であるため、平均と分散があります$2\nu+1$$X$$Y$$0$

$$\operatorname{Var}(XY) = E[(XY)^2] = E[X^2]E[Y^2] = (1)(1) = 1.$$

その結果、内積は平均および分散$(2\nu+1)(0) = 0$$(2\nu+1)(1)=2\nu+1.$

中心極限定理はこれら内積の正規化されたバージョンは、従って、ほぼ確実に標準正規分布に近づくと主張しています。正規化の効果を置き換えることであるその分散の平方根によって確率要素の変更によって$x$$x\sqrt{2\nu+1},$$f_{\nu}(x)\mathrm{d}x$

$$f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}(x\sqrt{2\nu+1}) = \sqrt{2\nu+1} f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}x.$$

この異なる（我々が取ることができる場合のみ限り、それは単に測定の距離単位を確立するために、一般性を失うことなく）乗算されるの代わりにこれらの用語の比率は1に近づくため、制限では、どちらを使用しても違いはありません。したがって、収束はほぼ確実です。$(*)$$\rho=1$$x$$\sqrt{2\nu+1}$$\sqrt{2\nu}.$

一つ小さな機微はそのためであるのピーク高有するように正規化されているである倍標準正規密度のピーク高さを、収束にある回密度自体ではなく標準の標準密度。 スケールファクター再導入し、純粋な統計的思考を使用して推定しました！$f_\nu$$1,$$\sqrt{2\pi}$$\sqrt{2\pi}$$\rho$

$$\lim_{\nu\to\infty} f_\nu(d) = \exp\left(-\frac{d^2}{2\rho^2}\right)$$ ほぼ確実に。

これはウィキペディアの主張に同意するものです。

このプロットは、（青）、（赤）、および制限ガウス（金）のグラフを示しています。収束は、ピークを埋めるために尾を引き込むことによって発生します。$f_2$$f_5$