Y〜XとX〜Yのベータの平均は有効ですか？

2つの時系列変数との関係に興味があります。2つの変数は互いに関連しており、どちらが原因であるかは理論からは明らかではありません。 $Y$$X$

この考えると、私は、線形回帰好む何の正当な理由がないを超える。 $Y = \alpha + \beta X$$X = \kappa + \gamma Y$

明らかにと間にはいくつかの関係がありますが、私はは真ではないことを理解するのに十分な統計を思い起こします。それとも、近くにないのでしょうか？私は少しかすんでいます。$\beta$$\gamma$$\beta = 1/ \gamma$

問題は、に対してどれだけのを保持すべきかを決定することです。$X$$Y$

私はとの平均を取り、それをヘッジ比率として使用することを検討しています。 $\beta$$1/ \gamma$

との平均は意味のある概念ですか？$\beta$$1/ \gamma$

そして二次的な質問として（おそらくこれは別の投稿になるはずです）、2つの変数が相互に関連しているという事実に対処する適切な方法は何ですか？つまり、独立した従属変数は実際にはありませんか？

両方の表現間の関係を確認するには、2変量の法線ベクトルを取り： with conditionals および これは、

$$\begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \sigma^2_1 & \rho \sigma_1 \sigma_2 \\ \rho \sigma_1 \sigma_2 & \sigma^2_2 \end{pmatrix} \right)$$ $$X_1 \mid X_2=x_2 \sim \mathcal{N} \left( \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2 - \mu_2),(1-\rho^2)\sigma^2_1 \right)$$ $$X_2 \mid X_1=x_1 \sim \mathcal{N} \left( \mu_2 + \rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x_1 - \mu_1),(1-\rho^2)\sigma^2_2 \right)$$ $$X_1=\underbrace{\left(\mu_1-\rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}\mu_2\right)}_\alpha+\underbrace{\rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}}_\beta X_2+\sqrt{1-\rho^2}\sigma_1\epsilon_1$$ および は、（a）がではなく、（b） 2つの回帰の間の関係は、分布に依存します。 $$X_2=\underbrace{\left(\mu_2-\rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1}\mu_1\right)}_\kappa+\underbrace{\rho \frac{\sigma_2}{\sigma_1}}_\gamma X_1+\sqrt{1-\rho^2}\sigma_2\epsilon_2$$ $\gamma$$1/\beta$$(X_1,X_2)$

コメントから変換.....

正確な値と で見つけることができます私のこの回答への単純な線形回帰に応答し、説明変数の切り替えの効果、あなたは疑いよう、及び の逆数ではない、および平均そして、 （または平均および）に行くための正しい方法ではありません。と が最小化しているものの図解は、Elvisの回答に記載されています$\beta$$\gamma$$\beta$$\gamma$$\beta$$\gamma$$\beta$$1/\gamma$$\beta$$\gamma$同じ質問に答えて、彼はあなたが探しているかもしれない「最小の長方形」回帰を紹介します。Elvisの回答に続くコメントは無視しないでください。彼らは、この「最小の長方形」回帰を、以前に研究された他の技法に関連付けます。特に、モデレーターchlは、予測子変数と応答変数のどちらが明確でない場合にこのメソッドが重要であることを指摘していることに注意してください。

$\beta$と$\gamma$

西安が彼の回答で述べたように、とは、条件付き平均と（順番に単一のジョイント分布に関係します）に関係することによって互いに関係しています。これらは、だと感じてください。これは、推定値を使用する代わりに、真のとを「知っている」場合には当てはまりません。あなたが持っていると$\beta$$\gamma$$X|Y$$Y|X$$\beta \neq 1/\gamma$$\sigma$$\rho$

$$\beta = \rho_{XY} \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}$$ $$\gamma = \rho_{XY} \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}$$

またはあなたは言うことができます

$$\beta \gamma = \rho_{XY}^2 \leq 1$$

および計算については、ウィキペディアの単純な線形回帰も参照してください。$\beta$$\gamma$

対称性を妨害するのはこの相関項です。場合及び単に標準偏差の比率であろう及びそれらは実際に互いの逆であろう。という用語は、一種としてこれを修正するように見ることができる平均に回帰。$\beta$$\gamma$$\sigma_Y/\sigma_X$$\sigma_X/\sigma_Y$$\rho_{XY}$

• 完全な相関を使用すると、基づいてを完全に予測できます。勾配は等しくなります$\rho_{XY} = 1$$X$$Y$ $$\beta \gamma = 1$$
• ただし、完全な相関ではない場合、これらの完全な予測を行うことはできず、条件付き平均は、またはによる単純なスケーリングと比較して、無条件平均にいくぶん近づき。回帰直線の傾きは緩やかになります。相互に逆数であり、それらの積は1つのより小さいため、勾配は関連しません。$\rho_{XY} < 1$$\sigma_Y/\sigma_X$$\sigma_X/\sigma_Y$ $$\beta \gamma < 1$$

---

回帰直線は正しい方法ですか？

これらの条件付き確率と回帰直線がと比率を決定するために必要なものかどうか疑問に思うかもしれません。最適な比率の計算に回帰直線をどのように使用するかは、私にはわかりません。$X$$Y$

以下は、比率を計算する別の方法です。この方法には対称性があります（つまり、XとYを切り替えると、同じ比率になります）。

---

オルタナティブ

セイ、債券利回りの及び多変量正規分布に従って分布している相関のと標準偏差との和であり、その後、ヘッジの収率とであろうが正規分布：$X$$Y$$^\dagger$$\rho_{XY}$$\sigma_X$$\sigma_Y$$X$$Y$

$$H = \alpha X + (1-\alpha) Y \sim N(\mu_H,\sigma_H^2)$$

たとと$0 \leq \alpha \leq 1$

$$\begin{array}{rcl} \mu_H &=& \alpha \mu_X+(1-\alpha) \mu_Y \\ \sigma_H^2 &=& \alpha^2 \sigma_X^2 + (1-\alpha)^2 \sigma_Y^2 + 2 \alpha (1-\alpha) \rho_{XY} \sigma_X \sigma_Y \\ & =& \alpha^2(\sigma_X^2+\sigma_Y^2 -2 \rho_{XY} \sigma_X\sigma_Y) + \alpha (-2 \sigma_Y^2+2\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y) +\sigma_Y^2 \end{array}$$

平均の最大であろうか否場合、既存の。$\mu_H$

$$\alpha = 0 \text{ or } \alpha=1$$ $\mu_X=\mu_Y$

分散の最小値は、$\sigma_H^2$

$$\alpha = 1 - \frac{\sigma_X^2 -\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y}{\sigma_X^2 +\sigma_Y^2 -2 \rho_{XY} \sigma_X\sigma_Y} = \frac{\sigma_Y^2-\rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2 -2 \rho_{XY} \sigma_X\sigma_Y}$$

最適は、これらの2つの極端の間のどこかにあり、損失と利益をどのように比較するかによって異なります。

と間には対称性があることに注意してください。ヘッジか、ヘッジを使用するかは関係ありません。に関して同じ比率になります。$\alpha$$1-\alpha$$H=\alpha_1 X+(1-\alpha_1)Y$$H=\alpha_2 Y + (1-\alpha_2) X$$\alpha_1 = 1-\alpha_2$

最小分散の場合と主成分との関係

最小分散の場合（ここでは実際に多変量正規分布を仮定する必要はありません）、次のヘッジ比率が最適なこれは、回帰係数およびであり、次のようになります

$$\frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{var(Y) - cov(X,Y)}{var(X)-cov(X,Y)}$$ $\beta = cov(X,Y)/var(X)$$\gamma = cov(X,Y)/var(Y)$ $$\frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{1-\beta}{1-\gamma}$$

3つ以上の変数/株式/債券がある状況では、これを最後の（最小の固有値）主成分に一般化できます。

---

バリアント

多変量正規分布とは異なる分布を使用することで、モデルを改善できます。また、時間をより洗練されたモデルに組み込んで、ペアの将来の値/分布の予測を改善することもできます。$X,Y$

---

^{$\dagger$これは簡略化ですが、回帰直線を使用せずに最適な比率を見つけるために分析を実行する方法と実行する方法を説明する目的に適しています。}

おそらく「グレンジャー因果律」のアプローチが役立つかもしれません。これは、XがYの優れた予測子であるかどうか、またはXがYの優れた予測子であるかどうかを評価するのに役立ちます。つまり、ベータとガンマのどちらがより真剣に取るべきかを示します。また、時系列データを扱っていることを考慮すると、Xの履歴がYの予測にどれだけカウントされるか（またはその逆）がわかります。

ウィキペディアは簡単な説明をしています：時系列Xは、通常、Xのラグされた値に対する一連のt検定とF検定（およびラグされたYの値も含まれます）を介して表示できる場合、グレンジャー原因Yと言われます、これらのX値はYの将来の値に関する統計的に有意な情報を提供すること。

あなたがすることは次のとおりです：

• Y（t）の回帰X（t-1）およびY（t-1）
• Y（t）の回帰X（t-1）、X（t-2）、Y（t-1）、Y（t-2）
• Y（t）の回帰X（t-1）、X（t-2）、X（t-3）、Y（t-1）、Y（t-2）、Y（t-3）

履歴の長さが妥当である可能性がある場合は、続けます。各回帰のF統計の有意性を確認します。次に、同じことを逆にして（つまり、X（t）でXとYの過去の値を回帰する）、有意なF値を持つ回帰を確認します。

Rコードを使用した非常に簡単な例がここにあります。グレンジャーの因果関係は、実際には因果関係を確立していないために批判されています（場合によっては）。しかし、あなたのアプリケーションは、実際には「予測因果律」に関するものであるようです。これは、まさにグレンジャー因果律アプローチが意図されているものです。

重要なのは、このアプローチでは、XがYを予測するか、YがXを予測するかが示され（そのため、2つの回帰係数を人為的かつ誤って合成するように誘惑されることはなくなります）、より適切な予測が得られます（ Yを予測するために、XとYの履歴をどれだけ知る必要があるかがわかります。これは、ヘッジ目的に役立ちますよね。