自然対数の期待値

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私が知っている $E(aX+b) = aE(X)+b$ とように与えられ、定数を、それを解決するのは簡単です。また、この場合のような非線形関数の場合は適用できないことを知っており、それを解決するために近似を行う必要がありますテイラーの私の質問は、どのように解くのですか?? テイラーとも近似しますか？ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— マット
ソース

4

はい、この場合、デルタ方式を適用できます。

— マイケルR.チャーニック

5

また、ジェンセンの不平等を調べる必要があります。

— kjetil bハルヴォルセン

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論文で

YWテー、D.ニューマンとM.ウェリング（2006）は、Aは、潜在的ディリクレ配分のための変分ベイズ推定アルゴリズムを折りたたみ、 NIPS 2006、1353年から1360年。

周りの2次テイラー展開を使用して、を近似し。 $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

この近似値は、アプリケーションに非常に適しているようです。

これをわずかに修正して、期待の線形性により、手元の質問に収まるようにします。

E [\log (1 + x)] \approx \log (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

ただし、左側または右側のいずれかが存在し、もう一方が存在しない場合があります。したがって、この近似を使用する場合は注意が必要です。

— user1149913
ソース

3

興味深いことに、これを使用して、ディガンマ関数の近似値を取得できます。

— 確率論的

6

また、あなたがのために正確な表現必要がない場合はしばしばジェンセンの不等式で与え束縛、良い十分です： $\text{E}[\log(X + 1)]$

\log [E (X) + 1] \geq E [\log (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— ダクストン
ソース

X

$X$

\geq

$\ge$

\log

$\log$

5

$X$ $f_X$ $g$

E [g (X)] = \int g (X) d P = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— 禅
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1

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

2

@mpiktas-この期待は実際に

g (x) = x

$g(x)=x$

2

@prob：いいえ、最初のコメントではこの条件は必要ありません。また、この質問に非常に関連性の高い状況でも必要ありません。（あなたの1 秒私はだけでなく、上のコメントに意味されていたものだったコメント、しかし、。）

— 枢機卿

2

@問題：それは十分ですが、最初のコメントと2番目のコメントを比較すると、なぜ必要ないのかがわかります！:

— 枢機

4

2つの通常のアプローチがあります。

$X$ $\ln(1+X)$ $\ln(1+x) f_{X}(x)$ $x$
あなたが提案するように、最初のいくつかの瞬間を知っていれば、テイラー近似を計算できます。

— Glen_b -Reinstate Monica
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