尤度の原則が*本当に*重要な例？

比例尤度を持つ2つの異なる防御可能なテストが著しく異なる（および同様に防御可能な）推論につながる例があります。たとえば、p値は桁違いに離れていますが、代替に対する力は似ていますか？

私が見るすべての例は非常にばかげており、二項と負の二項を比較しています。最初のp値は7％で、2番目のp値は3％です。 5％（ちなみに、推論の基準としてはかなり低い）などの重要性を持ち、権力を見ることすらしません。たとえば、しきい値を1％に変更すると、どちらも同じ結論になります。

著しく異なる防御可能な推論につながる例を見たことはありません。そのような例はありますか？

可能性の原理が統計的推論の基礎の基本的なものであるかのように、このトピックに多くのインクが費やされているのを見てきたので、私は尋ねています。しかし、上記のような馬鹿げた例が最良の例である場合、原則はまったく取るに足らないように見えます。

したがって、私は非常に説得力のある例を探しています.LPに従わない場合、証拠の重みは1つのテストで一方向を圧倒的に指し示しますが、比例尤度を持つ別のテストでは証拠の重みが反対方向を圧倒的に指摘し、両方の結論が理にかなっているように見えます。

理想的には、対検定など、同じ選択肢を検出するための比例尤度と同等の検出力など、任意の遠く離れた、しかし賢明な答えが得られることを実証できます。$p =0.1$$p= 10^{-10}$

PS：ブルースの答えは、この質問をまったく扱っていません。

点帰無仮説が真であるが、（これは常に遅かれ早かれ発生する、つまり確率1で発生する）までサンプリングを続け、試行を停止し、nullを拒否することを決定する仮定の状況を考えます。これは明らかに極端な停止規則ですが、議論のために考慮してください。$p<0.05$

このモロニックな手順のタイプIのエラー率は100％になりますが、Likelihood Principleによると何も問題はありません。

私はこれが「本当に」重要であると見なすと思います。もちろん、この引数で任意のを選択できます。ベイジアンは、必要に応じてベイズ係数の固定カットオフを使用できます。同じロジックが適用されます。ここでの主な教訓は、LP を順守できず、エラー率を保証できないことです。無料のランチはありません。$\alpha$

免責事項：この答えは議論全体の核心であると思うので、議論する価値はありますが、この問題を完全には調査していません。そのため、修正、改良、コメントを歓迎します。

最も重要な側面は、順次収集されるデータに関するものです。たとえば、バイナリの結果を観察し、10回の成功と5回の失敗を見たとします。尤度の原則では、10回成功するまでデータを収集したか（負の二項）、15回試行し、そのうち10回が成功した（二項）かどうかに関係なく、成功の確率について同じ結論に達する必要があります。

なぜこれが重要なのですか？

なぜなら、尤度の原則（または少なくともその解釈）に従って、推論ツールを変更することなく、データの収集を停止するときにデータに影響を与えることはまったく問題ないからです。

シーケンシャルメソッドとの競合

データを使用して推論ツールを変更せずにデータの収集を停止するタイミングを決定するという考え方は、従来の逐次分析法に完全に反しています。この典型的な例は、臨床試験で使用されている方法です。有害な治療への潜在的な暴露を減らすために、分析が行われる前の中間時間にデータが分析されることがよくあります。治験がまだ終了していないが、研究者がすでに治療が有効または有害であると結論付けるのに十分なデータを持っている場合、医療倫理は、治験を中止する必要があると告げています。治療が機能する場合、治験を中止し、非治験患者が治療を利用できるようにすることは倫理的です。有害な場合は、治験患者を有害な治療にさらすのをやめるように中止するのがより倫理的です。

問題は、複数の比較を行うようになったため、複数の比較を考慮してメソッドを調整しない場合、タイプIのエラー率が増加したことです。これは、実際には複数の部分比較であるため、従来の多重比較の問題とはまったく同じではありません（つまり、収集したデータの50％で1回、100％で1回データを分析すると、これら2つのサンプルは明らかに独立していません！）ただし、一般に比較を行うほど、帰無仮説を拒否するための基準を変更して、タイプIのエラー率を維持する必要があります。さらに多くの比較を計画するには、帰無を拒否するためにより多くの証拠が必要です。

これは臨床研究者をジレンマに陥れます。頻繁にデータを確認しますが、必要な証拠を増やしてnullを拒否しますか、それともデータを頻繁に確認せずに力を増やしますが、医療倫理に関して最適な方法で行動しない可能性があります（つまり、製品の市場投入を遅らせるか、患者を不必要に長く有害な治療にさらす）。

尤度原理は、データを何度チェックしても同じ推論を行う必要があることを教えてくれるように見えるというのは、おそらく（おそらく間違っている）理解です。これは基本的に、逐次試験設計へのアプローチはすべて完全に不要であると言っています。尤度の原則を使用して、結論を出すのに十分なデータを収集したら停止します。準備した分析の数に合わせて推論方法を変更する必要はないため、チェック回数と検出力の間にトレードオフのジレンマはありません。バム、シーケンシャル分析の全分野が解決されています（この解釈に従って）。

個人的には、これについて非常に混乱しているのは、シーケンシャルデザインの分野ではよく知られているが、かなり微妙な事実が、最終テスト統計の可能性が停止規則によって大きく変更されていることです。基本的に、停止規則は停止点で不連続な方法で確率を増加させます。このような歪みのプロットを次に示します。すべてのデータが収集された後にのみデータが分析される場合、破線はnullの下の最終検定統計量のPDFです。一方、実線は、与えられたデータで4回チェックした場合、検定統計量のnullの下の分布を示しますルール。

そうは言っても、尤度の原理は、周波数主義の逐次設計について知っていることをすべて捨てて、データを分析する回数を忘れることができるということを意味しているように思えます。明らかに、これの影響は、特に臨床設計の分野にとっては非常に大きなものです。しかし、停止規則が最終統計の可能性をどのように変えるかを無視することを正当化する方法に心を包みませんでした。

ここで、主に最終スライドでいくつかの軽い議論を見つけることができます。

指数データのLRテストの概要。

LET $X_1, X_2, \dots, X_n$からのランダムサンプルである $\mathsf{Exp}(\text{rate} =\lambda),$その結果、$E(X_i) = \mu = 1/\lambda.$ 以下のために$x > 0,$密度関数であり$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$とCDFである$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}.$

1.検定統計量はサンプルの最小値です。

$V = X_{(1)} = \min_n (X_i).$ましょう。そして、 $V \sim \mathsf{Exp}(n\lambda).$プルーフの概要として、

$$P(V > v) = P(X_1 > v, \dots, X_n > v) = \left[e^{-\lambda v}\right]^n= e^{-n\lambda v},$$ その結果、$P(V \le v) = 1 - e^{-n\lambda v},$のために$v > 0.$

試験に$H_9:\mu \le \mu_0$に対して$H_a: \mu > \mu_0,$レベル$\alpha = 5\%,$我々は考えて$V$その指数分布から単一の観測として。対数尤度比は、$V > c,$ときに拒否を示すことがわかります。ここで、 $P(V > c\, |\, \mu = \mu_0) = 0.05.$

特定のケースのために$n = 100$及び$\mu_0 =10,\, \lambda_0 = 0.1,$ 我々は指数関数的速度有する$10 = n/\mu_0 = 100/10 = 10,$その結果$c = 0.2295$ 指数分布を速度によってパラメータ化されたR、から。

 qexp(.95, 10)
 [1] 0.2995732
 1 - pexp(0.2996, 10)
 [1] 0.04998662

従って、代替に対する電力$\mu_a = 100$（速度$n/\mu_a = 1)$ 74％程度です。

1 - pexp(0.2996, 1)
[1] 0.7411146

2.検定統計量は標本平均です。

オックスフォードU.クラスノート（2ページ目）ショーの尤度比検定その$H_0: \mu \le \mu_0$に対して $H_0: \mu > \mu_0$ 有意不良の5％レベルでのため$\bar X > c,$$P(\bar X > c\, |\, \mu = \mu_0) = 0.5.$ また、一つはモーメント発生機能使用して表示することができ $\bar X \sim \mathsf{Gamma}(n, n\lambda).$

特定のケースのために$n = 100$及び$\mu_0 =10,\, \lambda_0 = 0.1,$我々有する$\bar X \sim \mathsf{Gamma}(100, 10),$その結果、$c = 11.7.$

qgamma(.95, 100, 10)
[1] 11.69971
1 - pgamma(11.7, 100, 10)
[1] 0.04997338

従って、代替に対する電力$\mu_a = 14$ 95.6パーセント程度です。

1 - pgamma(11.7, 100, 100/14)
[1] 0.9562513

明らかに、指数平均に関する仮説テストの目的のために$\mu,$十分統計量の情報$\bar X$ サンプル最低限の情報よりもはるかに大きいです。

さまざまなpdf関数$f(x,\theta)$およびg （x 、θ ）による違反$g(x,\theta)$

$f(x,\theta)$ $g(x,\theta)$$f$$g$$x$$\theta$

---

オプションの停止ルールの有無にかかわらずコインフリップ

任意停止規則を伴うまたは伴わないコイン投げが代表例である、PDFは、p値、および信頼区間の異なる計算にPDF機能やリード異なる二項又は負の二項であり、それらは、固定のために同一の尤度関数を導きますサンプル/測定（スケーリングまで）。

$$\begin{array}{rcrl} f_{\text{Negative Binomial}}(n|k,p) &=& {{n-1}\choose{k-1}}&p^k(1-p)^{n-k} \\ f_{\text{Binomial}}(k|n,p) &=& {{n}\choose{k}}&p^k(1-p)^{n-k} \end{array}$$

---

より極端な例

次のように測定を検討してください。$X$

$$\mathcal{L}(\theta | x) = f(x|\theta) = \begin{cases} 0 & \text{ if } \quad x < 0 \\a & \text{ if }\quad 0 \geq x < 1 \\ (1-a) \theta \exp(-\theta (x-1)) & \text{ if }\quad x \geq 1 \end{cases}$$

$a$$\theta$$x$

$x$$a$$a$

• $x<1$$\mathcal{L}(\theta | x) \propto 1$
• $x\geq 1$$\mathcal{L}(\theta | x) \propto \theta \exp(-\theta (x-1))$

$a$$x=2$$H_0:\theta = 1$$H_0:\theta < 1$

$$P(X>2|\theta = 1) = \frac{(1-a)}{\exp(1)}$$

---

$x$

$f(θ|x)$$x$$f(x|θ)$$θ$

p値は実際には証拠ではありません。p値は、単一の測定値ではなく、測定値の集合に関連する尺度であるタイプIエラーに関連しています。このタイプIエラーまたはp値は、Birnbaumsの「統計的証拠の基礎」からの「証拠的意味」と同じではありません。これは、p値の問題と、重要な効果ではなく統計的有意性のみで結果を検索する科学者に関連しています。

推論が著しく異なる例が必要ですか？極端なケースは、不自然な例です。このような場合、または同様の極端な違いがあるものは、もちろん実際には容易に発生しません。多くの場合、あなたがばかげていると呼ぶ場合のように、差は小さいでしょう。

尤度の原則が「本当に重要」な例や、2つの異なる推論が非常に異なる結果につながる例を求めるのは、ちょっとした質問です。少なくともこの質問の意図が何らかの哲学的議論に関係している場合。重要な原則が極めて多様な結果をもたらすことを前提としているため、これは負荷の高い質問です。ただし、実際の多くの場合、結果は小さくなります（p値が1オーダー未満の場合）。これは、2つの異なる、しかし両方とももっともらしい方法で、多かれ少なかれ類似した結果をもたらす奇妙なものではないと思います。差が小さい場合は、尤度の原則が「それほど違反されていない」と見なします。

James O. Berger（第2版29ページ）による統計的決定理論とベイジアン分析を応用した例を次に示します。

$x$$y$$H_0$$H_1$

$H_1$$H_0$

$H_0$$H_0$$H_0$

---

$H_0$

---

$x = 1$$y = 1$$H_0$$y \leq \alpha$

それでも、この例は、テストを個別のデータで配置するのが難しいため、多少不自然で完全に正直ではないことを認めます。連続データで同等の例を見つけることができますが、さらに不自然になります。私は、尤度原理にはほとんど実用的な価値がないというOPに同意します。私はそれを、理論内である程度の一貫性を保証する原則として解釈します。