無相関+共同正規性=独立。どうして？直感と力学

とは無相関であるが独立していないという事実によって単純に例示されているように、無相関である2つの変数は必ずしも独立しているとは限りません。ただし、相関関係がなく、共に正規分布している2つの変数は、独立していることが保証されています。これが真実である理由を誰かが直感的に説明できますか？2つの変数の結合正規性は、2つの変数間のゼロ相関の知識に正確に何を追加しますか？これにより、これらの2つの変数は独立している必要があると結論付けることができますか？ $X$ $X^2$

— ColorStatistics
ソース

一般的とは限らないと（あなたが上で特定の条件を入れない限り、無相関である、それらは無相関になるだろうが、あなたはどれも言及していません）。

X

$X$

X^{2}

$X^2$

X

$X$

— Glen_b-モニカを復活させる'11

最初に、相関が線形関係を指すという事実に戻って、X ^ 2とXの線形関係を説明してください。次に、X ^ 2とXは線形関係であるだけでなく、「一般的に」という言葉の使用を考えると、直線的に関連していることが多い。説明してください。ありがとうございました。

— ColorStatistics 2018年

@Glen_bはスポットですとは、の範囲を明確に規定している場合にのみ無相関です。たとえば、のサンプルを1より大きい範囲の値に制限する場合、ピアソンのはとに対してです。確認してください（R ）：

X

$X$

X^{2}

$X^{2}$

X

$X$

r \approx 0.98

$r \approx 0.98$

X

$X$

X^{2}

$X^{2}$

X \sim N (0, 1)

$X\sim \mathcal{N}(0,1)$

X

$X$ X <- rnorm(n=10000); X2 <- X*X; cor(X[X>1],X2[X>1])

— Alexis

@Alexis範囲だけでなく、範囲内のこれらの値に確率がどのように分布するかです。分布を変更すると、相関関係も変化します。

— Glen_b-モニカを復活させる

@ColorStatistics相関は、線形関係の度合いです、はい。しかし、投影上に実質的線形成分を含むことができます。変数とその正方形の間の線形相関が高い例を確認する場合は、に値0と1を等しい確率で取らせます（たとえば、単一の公正なコインのトスの頭の数を記録します）。次に、corr（！）。の分布を自由に指定できる場合は、と間の相関をから間の任意の値にすることができます。... ctd

x^{2}

$x^2$

x

$x$

X

$X$

(X, X^{2}) = 1

$(X,X^2)=1$

X

$X$

X

$X$

X^{2}

$X^2$

- 1

$-1$

1

$1$

— Glen_b-モニカの復活

回答:

2変量正規分布の同時確率密度関数（pdf）は、次のとおりです

f (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp [- \frac{z}{2 (1 - ρ^{2})}] 、

$f(x_1,x_2)=\frac 1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp[-\frac z{2(1-\rho^2)}],$

どこ

z = \frac{（ {バツ}_{1} - μ_{1} ）^{2}}{σ_{1}^{2}} - \frac{2 ρ （ {バツ}_{1} - μ_{1} ） （ {バツ}_{2} - μ_{2} ）}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{（ {バツ}_{2} - μ_{2} ）^{2}}{σ_{2}^{2}} 。

$z=\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}.$ 場合、。

ρ = 0

$\rho = 0$

\begin{aligned} f （ {バツ}_{1} 、 {バツ}_{2} ） & = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2}} \exp [- \frac{1}{2} {\frac{（ {バツ}_{1} - μ_{1} ）^{2}}{σ_{1}^{2}} + \frac{（ {バツ}_{2} - μ_{2} ）^{2}}{σ_{2}^{2}}}] \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{1}} \exp [- \frac{1}{2} {\frac{（ {バツ}_{1} - μ_{1} ）^{2}}{σ_{1}^{2}}}] \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{2}} \exp [- \frac{1}{2} {\frac{（ {バツ}_{2} - μ_{2} ）^{2}}{σ_{2}^{2}}}] \\ = f （ {バツ}_{1} ） f （ {バツ}_{2} ） \end{aligned}

$\begin{align}f(x_1,x_2) &=\frac 1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp[-\frac 12\left\{\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right\} ]\\ & = \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp[-\frac 12\left\{\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}\right\}] \frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp[-\frac 12\left\{\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right\}]\\ &= f(x_1)f(x_2)\end{align}$

したがって、それらは独立しています。

— ユーザー158565
ソース

私はあなたより2行遅れていました！（+1）

— jbowman

皆さん、ありがとうございました。エレガントな証拠。はっきりしている。証明の流れを考えると、ゼロ相関の知識が共同正規性の知識に何を追加し、その逆ではないかを尋ねるべきだったように思えます。

— ColorStatistics

それが真実である理由についての直感的な説明はどうですか？

— ColorStatistics 2018年

多分直感的な簡単な説明はありません。

— user158565 2018年

ガウスプロセスの（2より大きい）モーメントはすべてゼロであるという推論に沿って直感を得られますか。ゼロ相関条件（モーメント2）を追加すると、1より大きいすべてのモーメントがゼロに固定されますか？

— ColorStatistics

2つの確率変数結合正規性は、次の2 つの簡単な方法のいずれかで特徴付けることができます。 $X,Y$

（ランダムでない）実数のペアごとに、は一変量正規分布を持ちます。 $a,b$ $aX+bY$
ランダム変数と実数があり、 $Z_1,Z_2\sim\operatorname{\text{i.i.d.}} \operatorname N(0,1)$ $a,b,c,d$
$\begin{aligned} X & = a Z_{1} + b Z_{2} \\ and Y & = c Z_{1} + d Z_{2} . \end{aligned}$ $\begin{align} X & = aZ_1+bZ_2 \\ \text{and } Y & = cZ_1 + dZ_2. \end{align}$

これらの最初のものが2番目から続くことは簡単にわかります。最初から2番目が続くということは、より多くの作業を必要とし、多分私はすぐにそれを投稿するでしょう。。。

2番目が真の場合、 $\operatorname{cov}(X,Y) = ac + bd.$

この共分散が $0,$ 次にベクトル $(a,b),$ $(c,d)$ 互いに直交しています。その後 $X$ の正射影のスカラー倍数です $(Z_1,Z_2)$ 上に $(a,b)$ そして $Y$ 上に $(c,d).$

ここで、直交性の事実と結合密度の円対称性を結び付けます $(Z_1,Z_2),$ の分布を確認するには $(X,Y)$ 2つの確率変数の分布と同じである必要があります。その1つは、次の直交射影のスカラー倍数です。 $(Z_1,Z_2)$ に $x$ -軸、つまり、それはのスカラー倍数です $Z_1,$ もう1つは同様にスカラー倍数です $Z_2.$

— マイケル・ハーディ
ソース