指数の合計の分布

ましょ$X_1$及び独立同一率の指数確率変数の分散も。してみましょう。$X_2$$\lambda$$S_2 = X_1 + X_2$

Q：がPDFを持っていることを表示。$S_2$$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},\, x\ge 0$

レートポアソンプロセス（PP）に従ってイベントが発生した場合、は2番目のイベントの時間を表すことに注意してください。$\lambda$$S_2$

代替アプローチは高く評価されます。提供されるアプローチは、待ち行列理論と確率論的プロセスを学習するときに一般的に使用されます。

指数分布はガンマ分布の特殊なケースであることを思い出してください（形状パラメーター）。適用できるこちらのより一般的なバージョンがあることを知りました。$1$

X 1
の値に関する条件付けアプローチ条件。S 2の累積分布関数（CDF）から始めます。 $X_1$$S_2$

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align}$

これはディストリビューションのCDFです。PDFを取得するには、$x$に関して区別します（ここを参照）。

これはアーラン$(2,\lambda)$分布です（ここを参照）。

一般的なアプローチX 1およびX 2の
独立性に依存する直接統合。ここでも、S 2の累積分布関数（CDF）から始めます。 $X_1$$X_2$$S_2$

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \\ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\\ \end{align}$

これはCDFであるため、分化は、PDFを与える$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

MGFアプローチ
このアプローチは、モーメント生成関数（MGF）を使用します。

$\begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \\ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align}$