統計値の中央値が十分な場合はいつですか？

サンプルの中央値は十分な統計量の選択肢になることが多いという化学統計学者の発言に出くわしましたが、サンプル平均に等しい1つまたは2つの観測値の明らかなケースに加えて、別の非自明なiidを考えることはできませんサンプルの中央値で十分な場合。

median exponential-family sufficient-statistics chemistry

— 西安
ソース

「サンプルの中央値がよくあること」と書くつもりでしたか？

— ジュホコッカラ14年

興味深い質問です。二重指数関数には、位置パラメーターのML推定量の中央値がありますが、十分ではありません。

— -Glen_b-モニカーの復活2014

分布のサポートが未知のパラメーターθに依存しない場合、（Fréchet-Darmois-）Pitman-Koopmanの定理、つまり、観測の密度は必ず指数族形式天然の十分統計量から、それを締結するも十分で最小で、その後、中央値の関数であるべきである

\exp {θ T (x) - ψ (θ)} h (x)

$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$

S = \sum_{i = 1}^{n} T (x_{i})

$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$

S

$S$ 、これは不可能である。観測に極端な変更

、

、修正

が、中央値を変更しません。

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

n > 2

$n>2$

S

$S$

f (バツ | θ ） = h （ バツ ） 私_{A_{θ}} （ バツ ） τ （ θ ）

$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$

A_{θ}

$A_\theta$

f

$f$

\prod_{私 = 1}^{n} 私_{A_{θ}} （ {バツ}_{私} ）

$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$

\prod_{私 = 1}^{n} 私_{A_{θ}} （ {バツ}_{私} ） = 私_{B_{θ}^{n}} （ med （ {バツ}_{1 ： n} ） ）

$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

私_{B_{θ}^{n + 1}} （ med （ {バツ}_{1 ： n + 1} ） ） = 私_{B_{θ}^{n}} （ med （ {バツ}_{1 ： n} ） ） \times 私_{A_{θ}} （ {バツ}_{n + 1} ）

$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$

— 西安
ソース

B_{θ}^{n}

$B_\theta^n$

中央値のサポートです。

— 西安