iidガウシアンの最大値について最も強力な結果は何ですか？実際に最も使用されていますか？

与えられた$X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1)$ IID、ランダムな変数を考慮

$$Z_n := \max_{1 \le i \le n} X_i\,.$$

質問：これらの確率変数について最も「重要な」結果は何ですか？

「重要性」を明確にするために、論理的帰結として他の最も多くの結果を持っている結果はどれですか？実際に最も頻繁に使用される結果はどれですか？

より具体的には、$Z_n$が「基本的には同じ」であることは、（理論上の）統計学者の間の民間伝承の知識のようです$\sqrt{2 \log n}$、少なくとも漸近的に。（この関連質問を参照してください。）

ただし、このタイプには多くの関連する結果があり、ほとんどが同等ではなく、相互に示唆しているわけでもないようです。例えば∗、$^*$

$$\frac{Z_n}{\sqrt{2 \log n}} \overset{a.s.}{\to} 1 \,, \tag{1}$$

他に何もない場合は、対応する確率と分布の結果も意味します。

ただし、一見関連のある結果（この他の質問を参照）も示唆していません。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\mathbb{E}Z_n}{\sqrt{2 \log n}} =1 \,, \tag{2}$$

（これは$\dagger$ p。49の演習2.17です）、または別の民間伝承の結果：

$$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + \Theta(1) \,. \tag{3}$$

非漸近的に、各$n$について（証明についてはこちらを参照）、

$$\sqrt{c \log n} \le \mathbb{E}Z_n \le \sqrt{2 \log n} \tag{4}$$

小さな$c$。$|Z_n|$についても同様の結果が表示されます。Z n | 、$Z_n$が大きく右に歪んでいるため。

この最後の結果の証明は、他の結果の証明よりもはるかに簡単です。私の希望は、最初の漸近的な結果が他の漸近的な結果のすべてを暗示することであり、その結果を理解するために私の時間とエネルギーのすべてに集中することに自信を感じることができました。しかし、繰り返しますが、それは一見真実ではないように思われるので、今私がどちらに焦点を当てるべきかははっきりしていません。

$^*$ 1987年に印刷されたGalambosの第2版、極値統計の漸近理論のpp。265-267を参照。

$\dagger$ブシュロン、ルゴシ、マサート、濃度不等式：非漸近的独立理論。余談：この本は実際には問題の結果についてGalambosを引用していますが、Galambosのどこにも言及されているのは見つかりません-私が言及した最初の結果のみです。

確率的アプリケーションでは、最も基本的なオブジェクトは分布であり、これからモーメントと制限特性が導き出されます。従って、最も「重要」結果は、あなたが記載きた意味で、完全な分布関数であり、$F_{Z_n}(z) = \Phi^n(z)$（同等に、対応する密度関数）。実際には、この分布の結果は、すでにリストしたより基本的な漸近特性のいくつかよりもおそらく照明が弱いでしょう。それはこれらの漸近的な結果を論理的に意味しますが、私の見解では、これらの結果は、$n$を変更するにつれて極端な値の変化する性質を理解する上でより明確になる可能性があります。

最大IIDの標準正規確率変数の場合の極値プロパティをよく理解していることは、質問から明らかです。これらのプロパティはすべて、$Z_n$分布関数から論理的に導出できるため、これがこの問題で機能する最も基本的なオブジェクトです。多くの場合と同様に、最も基本的なオブジェクトは必ずしも最も明るいとは限らないため、すべての結果を把握し、それらが問題のさまざまな側面を明らかにすることを理解する必要があることに気付くでしょう。

WIP：進行中の作業

次のp。クレイマーの1946年370 統計の数学的方法、定義

$$\Xi_n = n(1 - \Phi(Z_n)) \,.$$ ここで$\Phi$標準正規分布の累積分布関数であり、$\mathscr{N}(0,1)$。その定義の結果として、我々がいることを保証されている$0\le \Xi_n \le n$、ほぼ確実。

特定の実現を検討$\omega \in \Omega$、当社のサンプル空間のを。このセンスで$Z_n$の関数でもある$n$と$\omega$、及び$\Xi_n$の関数$Z_n, n$、及び$\omega$。固定のために$\omega$、我々は考えることができ$Z_n$の決定的関数$n$、および$\Xi_n$の決定的関数$Z_n$と$n$、それによって、問題を単純化します。私たちは、ほぼ確実にすべてのために保持した結果を示すために目指して$\omega \in \Omega$、非決定論的な分析から非決定論的な設定に結果を転送できるようにします。

次のp。クレイマーの1946年の374 統計の数学的方法、瞬間（私は戻ってくると、後に証拠を提供することを目指して）我々は（任意のためにそれを表示することができることのために仮定$\omega \in \Omega$（部分積分を使用して保持し、次の漸近展開）$\Phi$の定義）：

$$\frac{\sqrt{2\pi}}{n}\Xi_n = \frac{1}{Z_n}e^{-\frac{Z_n^2}{2}}\left( 1 + O \left( \frac{1}{Z_n^2} \right) \right) \quad ~~ as ~~ Z_n \to \infty \,. \tag{~}$$

明らかに、我々は、その有する$Z_{n+1} \ge Z_n$いずれかのために$n$、及び$Z_n$、ほぼ確実の増加関数である$n$として$n\to \infty$、したがって、我々は（ほぼ確実にすべての）固定のためにその全体にわたって、以下のものに記載$\omega$：

$$Z_n \to \infty \quad \iff \quad n \to \infty \,.$$

したがって、次のようになります（ここで$\sim$は漸近的等価を示します）。

$$\frac{\sqrt{2\pi}}{n} \Xi_n \sim \frac{1}{Z_n} e^{-\frac{1}{Z_n^2}} \quad ~~ as ~~ Z_n \to \infty \quad n \to \infty \,.$$

以下に進む方法は基本的にドミナントバランスの方法に相当し、操作は以下の補題によって正式に正当化されます。

補題：仮定する$f(n) \sim g(n)$のように$n \to \infty$、及び$f(n) \to \infty$（したがって$g(n) \to \infty$）。次に、対数とべき乗則の構成、加算、および乗算を介して形成される任意の関数$h$（本質的に任意の「ポリログ」関数）が与えられると、それも$n \to \infty$として持つ必要があります：

$$h(f(n)) \sim h(g(n)) \,.$$ 言い換えれば、そのような「ポリログ」関数は漸近的等価性を維持します。

この補題の真実は、定理2.1の結果です。ここに書かれているように。また、以下の説明は、ここにある同様の質問への回答の拡張（詳細）バージョンであることに注意してください。

両側の対数を取ると、次のようになります。

$$\log ( \sqrt{2\pi} \Xi_n ) - \log n \sim -\log Z_n - \frac{Z_n^2}{2} \,. \tag{1}$$

これは、Cramerがいくらか行き詰まっているところです。彼はただ、「仮定言う$\Xi_n$我々は何とか何とか何とかを締結することができ、制限されています」。しかし、ことを示す$\Xi_n$適当に、ほぼ確実に拘束されることは実際にはやや非自明であるように思われます。これの証明は本質的にガランボスの265-267ページで議論されていることの一部であるように思われますが、その本の内容を理解するために私がまだ取り組んでいるとは思えません。

とにかく、一つのことを示すことができると仮定$\log \Xi_n = o(\log n)$（以降、それは以下の$-Z_n^2/2$項が支配$-\log Z_n$用語）ということを。

$$- \log n \sim - \frac{Z_n^2}{2} \quad \implies \quad Z_n \sim \sqrt{2 \log n} \,.$$

それはすでに我々が見せたいもののほとんどであるため、再び、今、私たちはいくつかの特定はほぼ確実に有界性を示すために持っているので、それは本質的に、道の下の缶を蹴っていることに注意することは価値があるが、これは、多少いいです$\Xi_n$。一方、$\Xi_n$ IID連続確率変数の最大のために同一の分布を有し、これは扱いやすいかもしれません。

とにかく、もし$Z_n \sim \sqrt{2 \log n}$として、その後、明らかに1もその結論付けることができ$Z_n \sim \sqrt{2 \log n}(1 + \alpha(n))$n→∞としてo（1）である$\alpha(n)$場合、 2 log n（1+α（n））。上記の漸近的等価性を維持するポリログ関数についての補題を使用すると、この式を（1）に代入して戻すことができます。$o(1)$$n \to \infty$$(1)$

$$\log(\sqrt{2 \pi} \Xi _n)- \log n \sim -\log (1 + \alpha) - \frac{1}{2}\log 2 - \frac{1}{2}\log \log n - \log n - 2 \alpha \log n - \alpha^2 \log n \,.$$

$$\implies -\log(\Xi_n \sqrt{2 \pi}) \sim \log(1 + \alpha) + \frac{1}{2} \log 2 + \frac{1}{2} \log \log n + 2\alpha \log n + \alpha^2 \log n \,.$$

$\log \Xi_n = o( \log \log n) ~~ as ~~ n \to \infty$$\Xi_n$$\Xi_n$$0 \le Xi_n \le n$$\Xi_n = O(1)$

$\alpha$$\frac{1}{2} \log \log n$$\alpha = o(1)$$\alpha^2 = o(\alpha)$$\log ( 1 + \alpha) = o (\alpha) = o(o(\alpha \log n))$$\alpha$$2 \alpha \log n$$\frac{1}{2}\log\log n$$2 \alpha \log n$

$$- \frac{1}{2} \log \log n \sim 2 \alpha \log n \quad \implies \quad \alpha \sim - \frac{\log \log n}{4 \log n} \,.$$

したがって、これを上記に置き換えると、次のようになります。

$$Z_n \sim \sqrt{2 \log n}- \frac{\log\log n}{2 \sqrt{2 \log n}} \,,$$

$\Xi_n$

$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}}$

$$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} (1 + \beta(n)) = \sqrt{2 \log n} \left( 1 - \frac{\log \log n}{8 \log n}(1 + \beta(n)) \right) \,,$$

$\beta(n)=o(1)$

$$\log Z_n \sim \log(\sqrt{2 \log n}) + \underbrace{\log \left(1 - \frac{\log \log n}{8 \log n}(1 + \beta(n)) \right) }_{\log(O(1)) = o(\log n)} \sim \log (\sqrt{2 \log n}) \,.$$

$$\frac{Z_n^2}{2} \sim \log n - \frac{1}{2} \log \log n (1 + \beta) + \underbrace{\frac{(\log \log n)^2}{8 \log n} ( 1 \beta)^2}_{o((1+ \beta) \log \log n)} \sim \log n - \frac{1}{2} (1 + \beta) \log \log n \,.$$

これを（1）に代入すると、次のことがわかります。

$$\log ( \sqrt{2 \pi} \Xi_n) - \log n \sim - \log(\sqrt{2 \log n}) - \log n + \frac{1}{2}(1 + \beta) \log \log n \quad \implies \quad \beta \sim \frac{\log (4 \pi \Xi_n^2)}{\log \log n} \,.$$

したがって、ほぼ確実に

$$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} \left(1 + \frac{\log(4 \pi) + 2 \log( \Xi_n)}{\log \log n} \right)\\ = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{ 2 \sqrt{2 \log n} } - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} \,.$$

これは、ここではエラー項の正確な順序が示されていないことを除いて、Cramerの1946年の統計の数学的方法のp.374の最終結果に対応しています。明らかにこのもう1つの項を適用すると、誤差項の正確な順序が得られますが、いずれにしても、関心のあるiid標準法線の最大値に関する結果を証明する必要はないようです。

---

上記の結果、つまりほぼ確実に：

$$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} \quad \implies \\ Z_n = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} + o(1)\,. \tag{$\dagger$}$$

2.次に、期待の線形性により、次のようになります。

$$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\mathbb{E}[\log (\Xi_n)]}{\sqrt{2 \log n}} + o(1) \quad \implies \\ \frac{\mathbb{E}Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\mathbb{E}[\log \Xi_n]}{2 \log n} + o(1) \,.$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty } \frac{\mathbb{E} Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 \,,$$

私たちもそれを示すことができる限り

$$\mathbb{E}[\log \Xi_n] = o(\log n) \,.$$

$\Xi_n$

1.同様に、上記からもほぼ確実に次のことがわかります。

$$\frac{Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\log(\Xi_n)}{2 \log n} +o(1),.$$

したがって、それを示すことができる場合：

$$\log(\Xi_n) = o(\log n) \text{ almost surely}, \tag{*}$$

$\mathbb{E}[\log (\Xi_n)] = o(\log n)$

$\dagger$$\Xi_n = o(\log n)$$\dagger$$\Xi_n = o(\log n)$$(\dagger)$

$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + \Theta(1)$$o(1) \not= \Theta(1)$

$$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + O(1) \,.$$

---

$$\Xi_n = o(\log n) \text{ almost surely.}$$

また、（〜）の証明を提供するという面倒な作業も行う必要がありますが、私の知る限り、微積分であり、確率論は含まれていませんが、まだ座って試してみていません。

$\Xi_n \ge 0$

$$\Xi_n = o(\log n) \quad \iff \quad \lim_{n \to \infty} \frac{\Xi_n}{\log n} = 0 \quad \iff \quad \\ \forall \varepsilon > 0, \frac{\Xi_n}{\log n} > \varepsilon \text{ only finitely many times} \quad \iff \\ \forall \varepsilon >0, \quad \Xi_n > \varepsilon \log n \text{ only finitely many times} \,.$$

1つはそれをまた持っています：

$$\Xi_n > \varepsilon \log n \quad \iff \quad n(1 - F(Z_n)) > \varepsilon \log n \quad \iff \quad 1 - F(Z_n) > \frac{\varepsilon \log n}{n} \\ \iff \quad F(Z_n) < 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \quad \iff \quad Z_n \le \inf \left\{ y: F(y) \ge 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \right\} \,.$$

$n$

$$u_n^{(\varepsilon)} = \inf \left\{ y: F(y) \ge 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \right\} \,.$$

したがって、上記の手順は次のことを示しています。

$$\Xi_n = o(\log n) \text{ a.s.} \quad \iff \quad \mathbb{P}(\Xi_n = o(\log n)) = 1 \quad \iff \quad \\ \mathbb{P}(\forall \varepsilon > 0 , \Xi_n > \varepsilon \log n \text{ only finitely many times}) = 1 \\ \iff \mathbb{P}(\forall \varepsilon > 0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ only finitely many times}) = 1 \\ \iff \mathbb{P}(\forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) =0 \,.$$

次のように記述できることに注意してください。

$$\{ \forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} = \bigcap_{\varepsilon > 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \,.$$

$u_n^{(\varepsilon)}$$\varepsilon$

$$\{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \}$$ $\varepsilon$$0$

$$\mathbb{P}(\forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) = \\ \mathbb{P} \left( \bigcap_{\varepsilon > 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \right) = \\ \mathbb{P} \left( \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \right) = \\ \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) \,.$$

$\varepsilon >0$

$$\mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) = 0$$

もちろん、定数シーケンスの制限は定数です。

以下は、大槌の結果です。

$X_1, X_2, \dots$$F(x)$$u_n$$n(1 - F(u_n))$$u_n < \sup \{ x: F(x) <1 \}$、

$$\mathbb{P}(Z_n \le u_n \text{ infinitely often}) =0 \text{ or }1$$ $$\sum_{j=1}^{+\infty}[1 - F(u_j)]\exp(-j[1-F(u_j)]) < +\infty \text{ or }=+\infty \,.$$

$\omega(F)=+\infty$$n(1-F(n))$$\varepsilon \log n$

とにかく、それを示すことができれば、この定理に訴えることがポイントです。

$$\sum_{j=1}^{+\infty}[1 - F(u_j^{(\varepsilon)})]\exp(-j[1-F(u_j^{(\varepsilon)})]) = \sum_{j=1}^{+\infty}\left[ \frac{\varepsilon \log j}{j} \right]\exp(-\varepsilon \log j) = \varepsilon \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{ \log j}{j^{1 + \varepsilon}} < + \infty \,.$$

$\log \log n \le \alpha \log n \iff \log n \le n^{\alpha}$$n$$\log n \le n$

$$\sum_{j=1}^{+\infty} \frac{\log j}{j^{1 + \varepsilon}} \le \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{j^{\varepsilon/2}}{j^{1 + \varepsilon}} = \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{1}{j^{1 + \varepsilon/2}} < +\infty \,,$$

$p>1$$\varepsilon >0$$1 + \varepsilon/2 > 1$

$\varepsilon >0$$\mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ i.o.}) = 0$$\Xi_n = o(\log n)$

$\log \Xi_n = o(\log \log n)$

$$\frac{1}{n} \log n = o(\log n) \,, - \log n + \log \log n \not= o(\log n) \,.$$

しかし、配列所与$x_n$一つがあることを示すことができる場合、$x_n = o( (\log n)^{\delta})$$\delta >0$$\log(x_n) = o(\log \log n)$$\Xi_n$