平均（または別のモーメント）が存在しない非負の離散分布の例？

私はscipyでいくつかの仕事をしていて、非負の離散確率変数が未定義の瞬間を持つことができるかどうか、コアscipyグループのメンバーと会話ができました。彼は正しいと思いますが、便利な証拠はありません。誰でもこの主張を表示/証明できますか？（または、この主張が真実ではない場合）

離散確率変数がをサポートしている場合、便利な例はありませんが、Cauchy分布の離散化バージョンは、未定義の瞬間を得るための例として役立つはずです。非負性（おそらくを含む）の状態は、問題を（少なくとも私にとって）困難にしているようです。$\mathbb{Z}$$0$

整数 CDF等しく他のすべての場所区分的に一定であり、CDFであるためのすべての基準に従うとします。期待は$F$$1-1/n$$n=1,2,\ldots,$

$$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

分岐します。この意味で、最初の瞬間（したがってすべてのより高い瞬間）は無限です。 （詳細については、最後の備考を参照してください。）

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この表記に不安がある場合は、$n=1,2,3,\ldots,$

$${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$$

各項が正であり、

$$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$$

期待は

$$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

分岐します。

答えを表現するこの方法は、すべてのソリューションがそのような分岐シリーズによって得られることを明確にします。 実際、正の値一部のサブセットで分布をサポートしたい場合、確率が1になり、シリーズが発散することが期待されますつまり、それを表現する$x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$$p_1, p_2, \ldots$

$$(a_n) = (x_n p_n),$$

発散した部分和が必要です。

逆に、非負数のすべての発散系列は、発散的な期待を持つ多くの離散的な正の分布に関連付けられます。$(a_n)$ たとえば、を指定すると、次のアルゴリズムを適用してシーケンスおよびを決定できます。設定することによって始まる及びするため 定義全ての設定するこのようにして生じる、指標としてその要素及び上の確率分布を定義によって$(a_n)$$(x_n)$$(p_n)$$q_n = 2^{-n}$$y_n = 2^n a_n$$n=1, 2, \ldots.$$\Omega$$y_n$$\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$$\Omega$

$$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$$

これは、作品の合計ので和と等しいあるそして正の要素のほとんど可算数であります。$p_n$$q_n,$$1,$$\Omega$

例として、系列明らかに分岐します。アルゴリズムは$(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

$$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$$

したがって、

$$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$$

奇数の正のパワーのセットで、$2$

$$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$$

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無限の瞬間と存在しない瞬間について

すべての値が正の場合、「未定義」のモーメントなどはありません。モーメントはすべて存在しますが、この答えの冒頭で示したように、発散合計（または積分）の意味で無限になります。

（である「無限。」）の和ためか、表現し、それらのいずれかの収束は絶対またはそれが発散することに不可欠な一般的に、すべての瞬間には、正の確率変数のために定義されている、モーメントがなることができるとは対照的に未定義の正と負の値をとる変数についてなぜなら、-ルベーグ積分の定義により-モーメントは、正の部分のモーメントと負の部分の絶対値のモーメントの差だからです。両方が無限である場合、収束は絶対ではなく、無限から無限を減算する問題に直面します。それは存在しません。

有名な例は次のとおりです。各整数について、が確率で値を取るようにします。次に、は正の整数（のサブセット）の値を取ります。総質量はですが、その期待値は このランダム変数は、サンクトペテルブルクのパラドックスで発生します。2 K 2 - K K ≥ 1 X Σ ∞ 、K = 1 2 - 、K = 1 E （X ）= ∞ Σ K = 1 2 K P （X = 2 kは）= ∞ Σ K = 1 1 = ∞ 。$X$$2^k$$2^{-k}$$k\ge1$$X$$\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

$$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$$ $X$

1. ゼータ分布は、（有限平均を持っていない正の整数でかなりよく知られている離散分布である）。$1<\theta\leq 2$

   $P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

   正規化定数には、リーマンゼータ関数が含まれます$\zeta(\cdot)$

   （編集：の場合は、whuberの答えと非常によく似ています）$\theta=2$

   同様のテール動作を持つ別の分布は、Yule-Simon分布です。

2. 別の例は、のベータ負の二項分布です。$0<\alpha\leq 1$

   $P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

コーシー分布の離散化バージョン

あなたが取る場合はい、の周囲の間隔でコーシー分布の平均値であるとして、次いで明確にゼロ次モーメントはコーシー分布と同じであり、その最初の瞬間は、漸近の最初の瞬間に接近しますコーシー分布。「周りの間隔」に関しては、それをどう定義するかは問題ではありません。take、、、vel cetera、それは動作します。正の整数の場合、取ることもできます。0番目のモーメントの合計は1になり、最初のモーメントはの合計になり、発散します。$p(n)$$n$$n$$(n-1,n]$$[n,n+1)$$[n-.5,n+.5)$$p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$$\frac6{n\pi^2}$

実際に任意の多項式のため、いくつか存在するよう我々は、次に取る場合は1に和は瞬間、第の次数である、それは分岐します。$p(n)$$c$$\frac c {p(n)}$$k$$k$$p(n)$