私は参加者がいて、それぞれが 20回、ある条件で10回、別の条件で10回応答するとします。各条件でを比較する線形混合効果モデルを近似します。以下のパッケージを使用して、この状況をシミュレートする再現可能な例を示します。$N$$Y$$Y$lme4R

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

モデルmは、2つの固定効果（条件の切片と勾配）、および3つのランダム効果（参加者ごとのランダム切片、条件の参加者ごとのランダム勾配、切片と勾配の相関）を生成します。

によって定義されたグループ全体で、参加者ごとのランダムインターセプト分散のサイズを統計的に比較しますcondition（つまり、コントロールと実験条件内で赤で強調表示された分散コンポーネントを計算し、コンポーネントのサイズの違いがゼロ以外）。どうすればこれを行うことができますか？

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ボーナス

モデルがもう少し複雑であるとしましょう：参加者はそれぞれ10回の刺激を20回、1つの条件で10回、別の条件で10回経験します。したがって、交差ランダム効果には、参加者のランダム効果と刺激のランダム効果の2つのセットがあります。再現可能な例を次に示します。

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id) + (condition | stimulus_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, stimulus_id=1:10, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0, .5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

で定義されたグループ全体で、参加者ごとのランダムな切片分散の大きさを統計的に比較したいと思いconditionます。それをどのように行うのですか？プロセスは上記の状況のプロセスとは異なりますか？

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編集

私が探しているものをもう少し具体的にするために、私は知りたいです：

1. 「各条件内の条件付き平均応答（つまり、各条件のランダムインターセプト値）は、サンプリングエラーのために予想されるものを超えて、互いに大幅に異なる」という質問ですか？理論的にさえ答えられる）？そうでない場合は、なぜですか？
2. 質問（1）の答えが「はい」の場合、どのように答えますか？R実装を希望しますが、lme4パッケージに縛られていません-たとえば、OpenMxパッケージにマルチグループおよびマルチレベルの分析（https：//openmx.ssri.psu。 edu / openmx-features）、これはSEMフレームワークで答えられるべき質問のようなもののようです。

この仮説をテストする方法は複数あります。たとえば、@ amoebaで概説されている手順が機能するはずです。しかし、それをテストする最も簡単で最も便利な方法は、2つのネストされたモデルを比較する古き良き比率テストを使用することであるように思えます。このアプローチの潜在的にトリッキーな部分は、単一のパラメーターをドロップアウトすることで、不等分散の望ましい仮説を明確にテストできるように、モデルのペアをセットアップする方法を知ることです。以下にその方法を説明します。

短い答え

独立変数のコントラスト（ゼロの合計）コーディングに切り替えてから、完全なモデルをランダムな勾配とランダムな切片間の相関を強制的に0にするモデルと比較する尤度比検定を実行します。

# switch to numeric (not factor) contrast codes
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# reduced model without correlation parameter
mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id), data=d)

# full model with correlation parameter
mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id), data=d)

# likelihood ratio test
anova(mod1, mod2)

視覚的な説明/直感

この答えが理にかなっているためには、観測されたデータに対して相関パラメーターの異なる値がどのような意味を持つかを直感的に理解する必要があります。（ランダムに変化する）被験者固有の回帰線を考慮してください。基本的に、相関パラメーターは、ポイント$X=0$に対して、参加者の回帰直線が「右にファンアウト」（正の相関）または「左にファンアウト」（負の相関）かどうかを制御します。変数。これらのいずれかは、参加者の条件付き平均応答の不等分散を意味します。これを以下に示します。

このプロットでは、各条件の各被験者についての複数の観測値を無視し、代わりに、各被験者の2つのランダムな平均をプロットし、それらを結ぶ線でその被験者のランダムな傾きを表します。（これは、OPに投稿されたデータではなく、10の仮想被験者からのデータで構成されています。）

強い負の勾配切片の相関がある左側の列では、回帰線は点$X=0$に対して左側に扇形に広がります。あなたは、図中にはっきりと見ることができるように条件における被験者のランダムな手段で大きな差異にこのリードをの状態に比べて。$X=-1$$X=1$

右側の列は、このパターンの逆の鏡像を示しています。この場合、条件に被験者のランダムな手段で大きなばらつきがあるの状態よりも。$X=1$$X=-1$

中央の列は、ランダムな勾配とランダムな切片が無相関の場合に何が起こるかを示しています。つまり、回帰線は、点基準として、右に扇状に広がるのと同じくらい左に扇状に広がることを意味し。これは、2つの条件における被験者の平均の分散が等しいことを意味します。$X=0$

ここでは、ダミーコードではなく sum-to-zeroコントラストコーディングスキームを使用することが重要です（つまり、グループを vs.設定しない）。それが唯一の我々は分散が等しい、請求この関係を有することコントラスト符号化方式であればのみ傾き切片相関が0である場合、ビルドしようと下図直感こと。$X=0$$X=1$

この図が示すのは、両方の列に同じデータセットがありますが、独立変数は2つの異なる方法でコード化されています。左側の列では、コントラストコードを使用しています。これはまさに最初の図の状況です。右側の列では、ダミーコードを使用しています。これにより、インターセプトの意味が変わります。現在、インターセプトは、コントロールグループでの被験者の予測応答を表します。下のパネルは、この変更の結果を示しています。つまり、深い意味でデータが同じであり、両方の場合で条件付き分散が等しい場合でも、勾配切片の相関は0に近くなりません。それでもこれがあまり意味をなさないように思える場合は、この現象について詳しく説明している私の以前の答えを調べてみると役立ちます。

証明

ましょう$y_{ijk}$である$j$の応答番目$i$状況下番目の被写体$k$。（僕らは、ここで2つだけ条件を有する$k$次に混合モデルを記述することができるだけのいずれか1または2である）

$$y_{ijk} = \alpha_i + \beta_ix_k + e_{ijk},$$ $\alpha_i$被験者のありますランダムインターセプトしHAVE分散$\sigma^2_\alpha$、$\beta_i$被験者のランダム傾きであり、持っている分散$\sigma^2_\beta$、$e_{ijk}$観測レベルの誤差項、及びある$\text{cov}(\alpha_i, \beta_i)=\sigma_{\alpha\beta}$。

私たちは、その表示したい

$$\text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) = \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta}=0.$$

この意味合いの左側から始まり、我々は

$$\begin{aligned} \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) &= \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \\ \sigma^2_\alpha + x^2_1\sigma^2_\beta + 2x_1\sigma_{\alpha\beta} &= \sigma^2_\alpha + x^2_2\sigma^2_\beta + 2x_2\sigma_{\alpha\beta} \\ \sigma^2_\beta(x_1^2 - x_2^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 - x_2) &= 0. \end{aligned}$$

ゼロ対ゼロのコントラストコードは、$x_1 + x_2 = 0$および$x_1^2 = x_2^2 = x^2$意味します。その後、我々はさらにために、上記の最後の行を低減することができる

$$\begin{aligned} \sigma^2_\beta(x^2 - x^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 + x_1) &= 0 \\ \sigma_{\alpha\beta} &= 0, \end{aligned}$$ これが証明したかったものです。（含意の他の方向を確立するために、これらの同じステップを逆にたどることができます。）

繰り返しますが、これは、独立変数がコントラスト（合計ゼロ）でコーディングされている場合、各条件における被験者のランダム平均の分散は、ランダムな勾配とランダムな切片間の相関が0 の場合にのみ等しいことを示しています。このすべてから持ち帰り点は帰無仮説をテストすることということである$\sigma_{\alpha\beta} = 0$ OPによって記載等しい分散の帰無仮説をテストします。

これは、独立変数が、たとえばダミーコード化されている場合は機能しません。具体的には、我々は、値がプラグ場合$x_1=0$及び$x_2=1$上式に、我々はそれを見つける

$$\text{var}(\alpha_i) = \text{var}(\alpha_i + \beta_i) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta} = -\frac{\sigma^2_\beta}{2}.$$

モデルパラメーターの有意性は、lme4パッケージに機能がある推定信頼区間を使用してテストできますconfint.merMod。

ブートストラップ（たとえば、ブートストラップからの信頼区間を参照）

> confint(m, method="boot", nsim=500, oldNames= FALSE)
Computing bootstrap confidence intervals ...
                                                           2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.32764600 0.64763277
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.00000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.02249989 0.46871800
sigma                                                 0.97933979 1.08314696
(Intercept)                                          -0.29669088 0.06169473
conditionexperimental                                 0.26539992 0.60940435 

尤度プロファイル（たとえば、プロファイルの尤度と信頼区間の関係を参照）

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                                          2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.3490878 0.66714551
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.0000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.0000000 0.49076950
sigma                                                 0.9759407 1.08217870
(Intercept)                                          -0.2999380 0.07194055
conditionexperimental                                 0.2707319 0.60727448

---

• メソッドもありますが'Wald'、これは固定効果にのみ適用されます。

• lmerTestという名前のパッケージには、ある種のanova（尤度比）タイプの式もありますranova。しかし、私はこれから意味をなさないように思えます。帰無仮説（ランダム効果のゼロ分散）がtrueであるlogLikelihoodの差の分布は、カイ二乗分布ではありません（おそらく参加者と試行の数が多い場合、尤度比検定は意味があります）。

---

特定のグループの分散

特定のグループの分散の結果を取得するには、再パラメーター化できます

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out) 
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "

データフレームに2つの列を追加した場所^{（これは、相関のない「コントロール」と「実験」を評価する場合にのみ必要です。関数(0 + condition || participant_id)は、条件の異なる要因を非相関として評価しません）}

#adding extra columns for control and experimental
d <- cbind(d,as.numeric(d$condition=='control'))
d <- cbind(d,1-as.numeric(d$condition=='control'))
names(d)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

今lmer、異なるグループの分散を与えます

> m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
> m
Linear mixed model fit by REML ['lmerModLmerTest']
Formula: paste("sim_1 ", fml1)
   Data: d
REML criterion at convergence: 2408.186
Random effects:
 Groups           Name         Std.Dev.
 participant_id   control      0.4963  
 participant_id.1 experimental 0.4554  
 Residual                      1.0268  
Number of obs: 800, groups:  participant_id, 40
Fixed Effects:
          (Intercept)  conditionexperimental  
               -0.114                  0.439 

そして、これらにプロファイルメソッドを適用できます。たとえば、現在、confintは、制御および実験の分散の信頼区間を提供します。

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                    2.5 %     97.5 %
sd_control|participant_id       0.3490873 0.66714568
sd_experimental|participant_id  0.3106425 0.61975534
sigma                           0.9759407 1.08217872
(Intercept)                    -0.2999382 0.07194076
conditionexperimental           0.1865125 0.69149396

---

シンプルさ

尤度関数を使用してより高度な比較を行うこともできますが、道路に沿って近似する多くの方法があります（たとえば、保守的なanova / lrt-testを実行できますが、それは必要ですか？）。

この時点で、実際に分散間のこの（それほど一般的ではない）比較のポイントは何だろうと思います。洗練されすぎているのではないかと思います。なぜ差分散代わりの間の比（古典的なF-分布に関する）分散間？なぜ信頼区間を報告しないのですか？統計的な問題や実際に主要なトピックである統計的な考慮事項に不必要で疎いかもしれない高度な経路に入る前に、一歩下がって、データとそれが伝えるはずのストーリーを明確にする必要があります。

単純に信頼区間を記述するだけでなく、実際に仮説検定よりもはるかに多くのことを行う必要があるかどうか疑問に思います。仮説検定では、答えはありませんが、母集団の実際の広がりに関する情報は得られません。有意差として報告されるわずかな違いを作成します）。（目的を問わず）さらに深く掘り下げるには、数学的な機械をガイドして適切な単純化を行うために、より具体的な（厳密に定義された）研究質問が必要だと思います（正確な計算が実行可能な場合や、シミュレーション/ブートストラップで概算できますが、それでも一部の設定では適切な解釈が必要です）。フィッシャーの正確検定と比較して、（特定の）質問（分割表について）を正確に解き、

簡単な例

可能な単純さの例を提供するために、個々の平均応答の分散を比較し、比較することにより行われたF検定に基づいて、2つのグループ分散間の差の単純な評価との比較（シミュレーションによる）を以下に示します混合モデルから派生した分散。

$j$

$$\hat{Y}_{i,j} \sim N(\mu_j, \sigma_j^2 + \frac{\sigma_{\epsilon}^2}{10})$$

$\sigma_\epsilon$$\sigma_{j}$$j = \lbrace 1,2 \rbrace$

これは、サンプルに基づいたFスコアは別として、モデルからの予測分散（または平方誤差の合計）に基づいてFスコアが計算されることを意味する以下のグラフのシミュレーションで確認できます。

^{$\sigma_{j=1} = \sigma_{j=2} = 0.5$$\sigma_\epsilon=1$}

いくつかの違いがあることがわかります。この違いは、混合効果線形モデルが（ランダム効果の）二乗誤差の合計を異なる方法で取得しているという事実に起因する可能性があります。そして、これらの2乗誤差項は（もはや）単純なカイ2乗分布として十分に表現されていませんが、密接に関連しており、近似することができます。

$\sigma_{j=1} \neq \sigma_{j=2}$$\hat{Y}_{i,j}$$\sigma_j$$\sigma_\epsilon$

^{$\sigma_{j=1} = 0.5$$\sigma_{j=2} = 0.25$$\sigma_\epsilon=1$}

したがって、平均に基づくモデルは非常に正確です。しかし、それほど強力ではありません。これは、正しい戦略があなたが望むもの/必要なものに依存することを示しています。

^{上記の例では、右尾の境界を2.1および3.1に設定すると、分散が等しい場合（人口10 000ケースの103および104）に人口の約1％が得られますが、分散が等しくない場合はこれらの境界が異なりますたくさん（ケースの5334と6716を与える）}

コード：

set.seed(23432)

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out)
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"

n <- 10000

theta_m <- matrix(rep(0,n*2),n)
theta_f <- matrix(rep(0,n*2),n)

# initial data frame later changed into d by adding a sixth sim_1 column
ds <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
ds <- rbind(cbind(ds, condition="control"), cbind(ds, condition="experimental"))
  #adding extra columns for control and experimental
  ds <- cbind(ds,as.numeric(ds$condition=='control'))
  ds <- cbind(ds,1-as.numeric(ds$condition=='control'))
  names(ds)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

# defining variances for the population of individual means
stdevs <- c(0.5,0.5) # c(control,experimental)

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                    max = n, style=3)
for (i in 1:n) {

  indv_means <- c(rep(0,40)+rnorm(40,0,stdevs[1]),rep(0.5,40)+rnorm(40,0,stdevs[2]))
  fill <- indv_means[d[,1]+d[,5]*40]+rnorm(80*10,0,sqrt(1)) #using a different way to make the data because the simulate is not creating independent data in the two groups 
  #fill <- suppressMessages(simulate(formula(fml), 
  #                     newparams=list(beta=c(0, .5), 
  #                                    theta=c(.5, 0, 0), 
  #                                    sigma=1), 
  #                     family=gaussian, 
  #                     newdata=ds))
  d <- cbind(ds, fill)
  names(d)[6] <- c("sim_1")


  m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
  m
  theta_m[i,] <- m@theta^2

  imeans <- aggregate(d[, 6], list(d[,c(1)],d[,c(3)]), mean)
  theta_f[i,1] <- var(imeans[c(1:40),3])
  theta_f[i,2] <- var(imeans[c(41:80),3])

  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

p1 <- hist(theta_f[,1]/theta_f[,2], breaks = seq(0,6,0.06))       
fr <- theta_m[,1]/theta_m[,2]
fr <- fr[which(fr<30)]
p2 <- hist(fr, breaks = seq(0,30,0.06))



plot(-100,-100, xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), 
     xlab="F-score", ylab = "counts [n out of 10 000]")
plot( p1, col=rgb(0,0,1,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # means based F-score
plot( p2, col=rgb(1,0,0,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # model based F-score
fr <- seq(0, 4, 0.01)
lines(fr,df(fr,39,39)*n*0.06,col=1)
legend(2, 800, c("means based F-score","mixed regression based F-score"), 
       fill=c(rgb(0,0,1,1/4),rgb(1,0,0,1/4)),box.col =NA, bg = NA)
legend(2, 760, c("F(39,39) distribution"), 
       lty=c(1),box.col = NA,bg = NA)
title(expression(paste(sigma[1]==0.5, " , ", sigma[2]==0.5, " and ", sigma[epsilon]==1)))

比較的簡単な方法の1つanovaは、lme4FAQで説明されているように、尤度比テストを使用することです。

分散が制約されていない（つまり、2つの異なる分散が許可されている）完全なモデルから始めて、2つの分散が等しいと仮定される1つの制約付きモデルに適合します。それらを単純に比較しますanova()（with は完全に実行可能ですが、私が設定しREML = FALSEたことに注意してください）。REML = TRUEanova(..., refit = FALSE)

m_full <- lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full)$varcor
 # Groups         Name                  Std.Dev. Corr  
 # participant_id (Intercept)           0.48741        
 #                conditionexperimental 0.26468  -0.419
 # Residual                             1.02677     

m_red <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

anova(m_full, m_red)
# Data: d
# Models:
# m_red: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id)
# m_full: sim_1 ~ condition + (condition | participant_id)
#        Df    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# m_red   4 2396.6 2415.3 -1194.3   2388.6                         
# m_full  6 2398.7 2426.8 -1193.3   2386.7 1.9037      2      0.386

ただし、このテストは保守的な可能性があります。たとえば、FAQには次のように書かれています。

ヌル値（σ2= 0など）が実行可能スペースの境界上にある場合、LRTベースの帰無仮説検定は保守的であることに注意してください。最も単純な場合（単一の変量効果の分散）、p値は本来の約2倍です（Pinheiro and Bates 2000）。

いくつかの選択肢があります。

1. $\chi^2$
   

2. を使用して正しい配布をシミュレートしますRLRsim（FAQでも説明されています）。

次の2番目のオプションを示します。

library("RLRsim")
## reparametrize model so we can get one parameter that we want to be zero:
afex::set_sum_contrasts() ## warning, changes contrasts globally
d <- cbind(d, difference = model.matrix(~condition, d)[,"condition1"])

m_full2 <- lmer(sim_1 ~ condition + (difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
all.equal(deviance(m_full), deviance(m_full2))  ## both full models are identical

## however, we need the full model without correlation!
m_full2b <- lmer(sim_1 ~ condition + (1| participant_id) + 
                   (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full2b)$varcor
 # Groups           Name        Std.Dev.
 # participant_id   (Intercept) 0.44837 
 # participant_id.1 difference  0.13234 
 # Residual                     1.02677 

## model that only has random effect to be tested
m_red <- update(m_full2b,  . ~ . - (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name       Std.Dev.
 # participant_id difference 0.083262
 # Residual                  1.125116

## Null model 
m_null <- update(m_full2b,  . ~ . - (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_null)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

exactRLRT(m_red, m_full2b, m_null)
# Using restricted likelihood evaluated at ML estimators.
# Refit with method="REML" for exact results.
# 
#   simulated finite sample distribution of RLRT.
#   
#   (p-value based on 10000 simulated values)
# 
# data:  
# RLRT = 1.9698, p-value = 0.0719

ご覧のとおり、出力REML = TRUEから、正確な結果が得られたことが示唆されます。しかし、これは演習として読者に任されています。

ボーナスに関して、RLRsim複数のコンポーネントの同時テストを許可するかどうかはわかりませんが、許可する場合は、同じ方法でこれを行うことができます。

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コメントへの応答：

$\theta_X$$\theta_0$$X$

この質問が妥当な答えを受け取ることができるかどうかはわかりません。

• ランダムインターセプトにより、グループ化要因の各レベルの全体的なレベルに特異な違いが生じます。たとえば、従属変数が応答時間である場合、一部の参加者は高速で、一部の参加者は遅くなります。
• ランダムな勾配により、グループ化因子の各レベルで、ランダムな勾配が推定される因子の特異な効果が得られます。たとえば、要因が一致である場合、一部の参加者は他の参加者よりも高い一致効果を得ることができます。

ランダムな勾配はランダムな切片に影響しますか？ある意味で、これは理にかなっているかもしれません。グループ化因子の各レベルが各条件に対して完全に特異な効果を与えるからです。最後に、2つの条件に対して2つの特異なパラメーターを推定します。ただし、インターセプトによってキャプチャされた全体的なレベルとランダムスロープによってキャプチャされた条件固有の効果の違いは重要であり、ランダムスロープがランダムインターセプトに実際に影響を与えることはできないと思います。ただし、グループ化因子の各レベルは、条件の各レベルに対して個別に特異的です。

それにもかかわらず、私のテストはまだ元の質問が望んでいることを行います。2つの条件の分散の差がゼロかどうかをテストします。ゼロの場合、両方の条件の分散は等しくなります。言い換えると、ランダム勾配の必要がない場合にのみ、両方の条件の分散が同一になります。それが理にかなっていることを願っています。

あなたのモデル

m = lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d)

すでに、制御条件の被験者間分散が実験条件の被験者間分散と異なることが許可されています。これは、同等の再パラメーター化により、より明確にすることができます。

m = lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=d)

ランダム共分散行列の解釈がより簡単になりました。

Random effects:
 Groups         Name                  Variance Std.Dev. Corr
 participant_id conditioncontrol      0.2464   0.4963       
                conditionexperimental 0.2074   0.4554   0.83

ここでは、2つの分散があり、正確に制御状態での条件付き平均応答の[横断科目]分散と実験条件で同じ2つはあなたが興味のある差異。シミュレートされたデータセットでは、それらは0.25と0.21です。差は

delta = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]

そして0.039に等しい。ゼロと大きく異なるかどうかをテストします。

編集：私は以下で説明する置換テストが間違っていることに気付きました。制御/実験条件の平均が同じでない場合、意図したとおりに機能しません（そのため、nullの下では観測値を交換できないため）。被験者（またはボーナスの場合は被験者/アイテム）をブートストラップし、の信頼区間を取得することをお勧めしますdelta。

そのために、以下のコードを修正してみます。

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元の置換ベースの提案（間違った）

順列テストを行うことで、多くのトラブルを回避できることがよくわかります。実際、この場合、セットアップは非常に簡単です。各被験者の制御/実験条件を個別に入れ替えましょう。分散の違いはすべて除去する必要があります。これを何度も繰り返すと、差異のヌル分布が生じます。

（私はRでプログラミングしていません。誰でも、より良いRスタイルで以下を書き直してください。）

set.seed(42)
nrep = 100
v = matrix(nrow=nrep, ncol=1)
for (i in 1:nrep)
{
   dp = d
   for (s in unique(d$participant_id)){             
     if (rbinom(1,1,.5)==1){
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='control',]$condition = 'experimental'
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='experimental',]$condition = 'control'
     }
   }
  m <- lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=dp)
  v[i,] = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]
}
pvalue = sum(abs(v) >= abs(delta)) / nrep

$p=0.7$nrep

ボーナスケースにもまったく同じロジックを適用できます。

$$y_{ijk} = \mu + \alpha_j + d_{ij} + e_{ijk}, \quad d_{i} \sim N(0, \Sigma), \quad e_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$$ $\alpha_j$$j$$d_i = (d_{i1}, \ldots, d_{iJ})^\top$$i$$j$
$y_{i1k}$$y_{i2k}$$A$$B$$d_{i}$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}$$

$\sigma^2_A$$\sigma^2_{B}$

$\Sigma$

総平均に対応する切片の分散は

$$\sigma^2_{1} := \text{Var(grand mean)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A+B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) + 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$$

コントラストの分散は

$$\sigma^2_{2} := \text{Var(contrast)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A-B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) - 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$$

そして、切片とコントラストの共分散は

$$\sigma_{12} := \text{Cov}(\text{grand mean, contrast}) = \text{Cov}(\frac{1}{2} \cdot (A+B), \frac{1}{2} \cdot (A-B)) \\ = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) - \text{Var}(B)).$$

したがって、再パラメータ化 $\Sigma$ は

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} & \sigma^2_1 - \sigma^2_2\\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 - 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}.$$

$\Sigma$ can be decomposed into

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}\sigma_{12} & 0\\ 0 & -\sigma_{12}\end{bmatrix}.$$

Setting the covariance parameter $\sigma_{12}$ to zero we get

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1 - \sigma^2_2 \\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2\end{bmatrix}$$

which, as @Jake Westfall derived slightly differently, tests the hypothesis of equal variances when we compare a model without this covariance parameter to a model where the covariance parameter is still included/not set to zero.

Notably, introducing another crossed random grouping factor (such as stimuli) does not change the model comparison that has to be done, i.e., anova(mod1, mod2) (optionally with the argument refit = FALSE when you use REML estimation) where mod1 and mod2 are defined as @Jake Westfall did.

Taking out $\sigma_{12}$ and the variance component for the contrast $\sigma^2_2$ (what @Henrik suggests) results in

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix}$$

which tests the hypothesis that the variances in the two conditions are equal and that they are equal to the (positive) covariance between the two conditions.

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When we have two conditions, a model that fits a covariance matrix with two parameters in a (positive) compound symmetric structure can also be written as

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# new model
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE) 

or (using the categorical variable/factor condition)

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

with

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix}$$

where $\sigma^2_1$ and $\sigma^2_2$ are the variance parameters for the participant and the participant-condition-combination intercepts, respectively. Note that this $\Sigma$ has a non-negative covariance parameter.

Below we see that mod1, mod3, and mod4 yield equivalent fits:

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

# new models 
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE) 

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

anova(mod3, mod1)
# Data: d
# Models:
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
# mod1: sim_1 ~ contrast + ((1 | participant_id) + (0 + contrast | participant_id))
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod1  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

anova(mod4, mod3)
# Data: d
# Models:
# mod4: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id)
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod4  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

---

With treatment contrasts (the default in R) the re-parameterized $\Sigma$ is

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma_{12}\\ \sigma^2_1 + \sigma_{12} & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & \sigma_{12}\\ \sigma_{12} & 2\sigma_{12}\end{bmatrix}$$

where $\sigma^2_1$ is the variance parameter for the intercept (condition $A$), $\sigma^2_2$ the variance parameter for the contrast ($A - B$), and $\sigma_{12}$ the corresponding covariance parameter.

We can see that neither setting $\sigma_{12}$ to zero nor setting $\sigma^2_2$ to zero tests (only) the hypothesis of equal variances.

However, as shown above, we can still use mod4 to test the hypothesis as changing the contrasts has no impact on the parameterization of $\Sigma$ for this model.