このチャートを作成するために、mean = 0およびsd = 1の正規分布から異なるサイズのランダムサンプルを生成しました。その後、t.test（）関数を使用して.001から.999（赤い線）の範囲のアルファカットオフを使用して信頼区間を計算し、以下のコードを使用してプロファイル尤度を計算しました。現時点でリンクを見つける編集：見つかった）、これは青い線で示されています。緑の線は、R density（）関数を使用して正規化された密度を示し、データは各チャートの下部にある箱ひげ図で示されます。右側には、95％の信頼区間（赤）と最大尤度区間の1/20（青）のキャタピラープロットがあります。

プロファイル尤度に使用されるRコード：

  #mn=mean(dat)
  muVals <- seq(low,high, length = 1000)
  likVals <- sapply(muVals,
                    function(mu){
                      (sum((dat - mu)^2) /
                         sum((dat - mn)^2)) ^ (-n/2)
                    }
  )

私の特定の質問は、これらの2種類の間隔の間に既知の関係があるかどうか、およびn = 3の場合を除いてすべてのケースで信頼区間がより保守的に見える理由です。計算が有効かどうか（およびこれを行うためのより良い方法）およびこれら2つのタイプの間隔の一般的な関係についてのコメント/回答も必要です。

Rコード：

samp.size=c(3,4,5,10,20,1000)
cnt2<-1
ints=matrix(nrow=length(samp.size),ncol=4)
layout(matrix(c(1,2,7,3,4,7,5,6,7),nrow=3,ncol=3, byrow=T))
par(mar=c(5.1,4.1,4.1,4.1))
for(j in samp.size){


  #set.seed(200)
  dat<-rnorm(j,0,1)
  vals<-seq(.001,.999, by=.001)
  cis<-matrix(nrow=length(vals),ncol=3)
  cnt<-1
  for(ci in vals){
    x<-t.test(dat,conf.level=ci)$conf.int[1:2]
    cis[cnt,]<-cbind(ci,x[1],x[2])
    cnt<-cnt+1
  }


  mn=mean(dat)
  n=length(dat)
  high<-max(c(dat,cis[970,3]), na.rm=T)
  low<-min(c(dat,cis[970,2]), na.rm=T)
  #high<-max(abs(c(dat,cis[970,2],cis[970,3])), na.rm=T)
  #low<--high


  muVals <- seq(low,high, length = 1000)
  likVals <- sapply(muVals,
                    function(mu){
                      (sum((dat - mu)^2) /
                         sum((dat - mn)^2)) ^ (-n/2)
                    }
  )


  plot(muVals, likVals, type = "l", lwd=3, col="Blue", xlim=c(low,high),
       ylim=c(-.1,1), ylab="Likelihood/Alpha", xlab="Values",
       main=c(paste("n=",n), 
              "True Mean=0 True sd=1", 
              paste("Sample Mean=", round(mn,2), "Sample sd=", round(sd(dat),2)))
  )
  axis(side=4,at=seq(0,1,length=6),
       labels=round(seq(0,max(density(dat)$y),length=6),2))
  mtext(4, text="Density", line=2.2,cex=.8)

  lines(density(dat)$x,density(dat)$y/max(density(dat)$y), lwd=2, col="Green")
  lines(range(muVals[likVals>1/20]), c(1/20,1/20), col="Blue", lwd=4)
  lines(cis[,2],1-cis[,1], lwd=3, col="Red")
  lines(cis[,3],1-cis[,1], lwd=3, col="Red")
  lines(cis[which(round(cis[,1],3)==.95),2:3],rep(.05,2), 
        lty=3, lwd=4, col="Red")
  abline(v=mn, lty=2, lwd=2)
  #abline(h=.05, lty=3, lwd=4, col="Red")
  abline(h=0, lty=1, lwd=3)
  abline(v=0, lty=3, lwd=1)

  boxplot(dat,at=-.1,add=T, horizontal=T, boxwex=.1, col="Green")
  stripchart(dat,at=-.1,add=T, pch=16, cex=1.1)

  legend("topleft", legend=c("Likelihood"," Confidence Interval", "Sample Density"),
         col=c("Blue","Red", "Green"), lwd=3,bty="n")

  ints[cnt2,]<-cbind(range(muVals[likVals>1/20])[1],range(muVals[likVals>1/20])[2],
                     cis[which(round(cis[,1],3)==.95),2],cis[which(round(cis[,1],3)==.95),3])
  cnt2<-cnt2+1
}
par(mar=c(5.1,4.1,4.1,2.1))


plot(0,0, type="n", ylim=c(1,nrow(ints)+.5), xlim=c(min(ints),max(ints)), 
     yaxt="n", ylab="Sample Size", xlab="Values")
for(i in 1:nrow(ints)){
  segments(ints[i,1],i+.2,ints[i,2],i+.2, lwd=3, col="Blue")
  segments(ints[i,3],i+.3,ints[i,4],i+.3, lwd=3, col="Red")
}
axis(side=2, at=seq(1.25,nrow(ints)+.25,by=1), samp.size)

完全な答えはしませんが（あなたが何をしているかを正確に理解しようとするのは大変です）、プロファイルの尤度がどのように構築されるかを明確にします。後で回答を完了することがあります。

サイズの正常サンプルの完全な可能性がであり、 L （μ 、σ 2）= （σ 2 ） - N / 2 EXP （ - Σ I（X I - μ ）2 / 2 σ 2 ）$n$

$$L(\mu, \sigma^2) = \left( \sigma^2 \right)^{-n/2} \exp\left( - \sum_i (x_i-\mu)^2/2\sigma^2 \right).$$

場合興味のあるパラメータであり、σ 2は迷惑パラメータであり、のみに推論を行うためのソリューションμは、プロファイル尤度を定義することである L P（μ ）= L （ μ 、^ σ 2（μ ））^ σを2（μは）のためにMLEであるμ固定： ^ σ 2（μ ）= ARGMAX σ 2 L （μ $\mu$$\sigma^2$$\mu$

$$L_P(\mu) = L\left(\mu, \widehat{\sigma^2}(\mu) \right)$$ $\widehat{\sigma^2}(\mu)$$\mu$ $$\widehat{\sigma^2}(\mu) = \text{argmax}_{\sigma^2} L(\mu, \sigma^2).$$

$$\widehat{\sigma^2}(\mu) = {1\over n} \sum_k (x_k - \mu)^2.$$

$$L_P(\mu) = \left( {1\over n} \sum_k (x_k - \mu)^2 \right)^{-n/2} \exp( -n/2 ).$$

$\exp(-n/2)$

> data(sleep)
> difference <- sleep$extra[11:20]-sleep$extra[1:10]
> Lp <- function(mu, x) {n <- length(x); mean( (x-mu)**2 )**(-n/2) }
> mu <- seq(0,3, length=501)
> plot(mu, sapply(mu, Lp, x = difference), type="l")

尤度とのリンク次のグラフで、尤度とのリンクを強調してみます。

最初に尤度を定義します。

L <- function(mu,s2,x) {n <- length(x); s2**(-n/2)*exp( -sum((x-mu)**2)/2/s2 )}

次に、等高線プロットを実行します。

sigma <- seq(0.5,4, length=501)
mu <- seq(0,3, length=501)

z <- matrix( nrow=length(mu), ncol=length(sigma))
for(i in 1:length(mu))
  for(j in 1:length(sigma))
    z[i,j] <- L(mu[i], sigma[j], difference)

# shorter version
# z <- outer(mu, sigma, Vectorize(function(a,b) L(a,b,difference)))

contour(mu, sigma, z, levels=c(1e-10,1e-6,2e-5,1e-4,2e-4,4e-4,6e-4,8e-4,1e-3,1.2e-3,1.4e-3))

$\widehat{\sigma^2}(\mu)$

hats2mu <- sapply(mu, function(mu0) mean( (difference-mu0)**2 ))
lines(mu, hats2mu, col="red", lwd=2)

プロファイル尤度の値は、赤い放物線に沿った尤度によって取得される値です。

$\hat\mu$

$\widehat{\sigma^2}(\mu)$

たとえば、プロファイル尤度を使用してスコアテストを作成することもできます。

$\chi^2_k$

$0.147$$95\%$

これらは古典的な結果であるため、これについていくつかの参照を提供します。

http://www.jstor.org/stable/2347496

http://www.stata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0132

http://www.unc.edu/courses/2010fall/ecol/563/001/docs/lectures/lecture11.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood-ratio_test

http://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function#Profile_likelihood

次のRコードは、小さなサンプルであっても、両方のアプローチで得られた間隔が似ていることを示しています（エルビスの例を再利用しています）：

正規化されたプロファイル尤度を使用する必要があることに注意してください。

data(sleep)
x <- sleep$extra[11:20]-sleep$extra[1:10]
n <- length(x)
Rp <- function(mu) {mean( (x-mean(x))^2 )^(n/2)/mean( (x-mu)^2 )^(n/2) }
Rp(mean(x))

mu <- seq(0,3, length=501)
plot(mu, sapply(mu, Rp), type="l")


Rpt<- function(mu) Rp(mu)-0.147 # Just an instrumental function

# Likelihood-confidence interval of 95% level

c(uniroot(Rpt,c(0.5,1.5))$root,uniroot(Rpt,c(1.51,3))$root)

# t confidence interval

t.test(x,conf.level=0.95)$conf.int

より大きなサンプルサイズを使用すると、信頼区間はさらに近くなります。

set.seed(123)
x <- rnorm(100)
n <- length(x)
Rp <- function(mu) {mean( (x-mean(x))^2 )^(n/2)/mean( (x-mu)^2 )^(n/2) }
Rp(mean(x))

mu <- seq(-0.5,0.5, length=501)
plot(mu, sapply(mu, Rp), type="l")


Rpt<- function(mu) Rp(mu)-0.147 # Just an instrumental function

# Likelihood-confidence interval of 95% level

c(uniroot(Rpt,c(-0.4,0))$root,uniroot(Rpt,c(0,0.4))$root)

# t confidence interval

t.test(x,conf.level=0.95)$conf.int

重要なポイント：

特定のサンプルでは、​​異なる種類の信頼区間がその長さまたは場所の点で異なる場合があることに注意してください。実際に重要なのはカバレッジです。長い目で見れば、それらはすべて、特定のサンプルでどれだけ異なるかにかかわらず、同じカバレッジを提供する必要があります。

$\chi^2$$normalized$

1. プロファイルの対数尤度は近似2次です。
2. プロファイルの対数尤度をほぼ2次にするパラメーター変換が存在します。

二次は、対数スケールで正規分布を定義するため重要です。二次関数であるほど、近似と結果のCIが向上します。尤度間隔の1/20番目のカットオフの選択は、漸近的制限の95％CI以上に相当します。これが、青の間隔が赤の間隔より一般に長い理由です。

現在、プロファイルの尤度には注意が必要な別の問題があります。プロファイリングする変数が多数ある場合、ディメンションごとのデータポイントの数が少ないと、プロファイルの尤度は非常に偏って楽観的になる可能性があります。次に、このバイアスを減らすために、限界、条件付き、および修正されたプロファイル尤度が使用されます。

したがって、あなたの質問への答えはYESです...接続は、尤度比のカイ二乗分布に現れるように、ほとんどの最尤推定量の漸近正規性です。