母集団の平均の信頼区間を含む統計的問題は、次の重み関数の観点から組み立てることができます。

$$w(\alpha, n) \equiv \frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{n}} \quad \quad \quad \quad \text{for } 0<\alpha<1 \text{ and } n > 1.$$

たとえば、無限の超母集団の平均の標準的な古典的なレベルの信頼区間は、次のように書くことができます。$1-\alpha$

$$\text{CI}(1-\alpha) = \Bigg[ \bar{x}_n \pm w(\alpha, n) \cdot s_n \Bigg].$$

次の関数を使用して、限界および\ lim _ {\ alpha \ uparrow 1} w（\ alpha、n）= 0を確立することは簡単ですT分布。信頼区間のコンテキストでは、これは、信頼レベルを下げると区間が1つのポイントに縮小し、信頼レベルを上げると実際の線全体に拡大することを示しています。保持する必要があるもう1つの直感的なプロパティは、データを取得するにつれて間隔が1つのポイントに縮小することです。つまり、次のことを意味します。$\lim_{\alpha \downarrow 0} w(\alpha, n) = \infty$$\lim_{\alpha \uparrow 1} w(\alpha, n) = 0$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} w(\alpha, n) = 0.$$

質問：後者の重み関数の特性を証明してください。

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詳細情報：T分布の臨界点に慣れていない数学の読者にとって、値は、陰的な方程式で定義された関数です。$t_{n-1, \alpha/2}$$n$

$$\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{(n-1) \pi}} \cdot \frac{\Gamma(\tfrac{n}{2})}{\Gamma(\tfrac{n-1}{2})} \int \limits_{t_{n-1, \alpha/2}}^\infty \Big( 1+ \frac{r^2}{n-1} \Big)^{-n/2} dr.$$

チェビシェフの不等式による証明

これは、チェビシェフの不等式 を使用した証明です。$Pr(|T|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

我々は埋める場合とセットその後、制限があります$\sigma_{t_\nu} = \frac{\nu}{\nu-2}$$1/k^2=\alpha = Pr\left(|T|\geq t_{\nu,\alpha/2}\right)$

$$Pr\left(|T|\geq \frac{\nu}{\nu-2}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\right) \leq Pr\left(|T|\geq t_{\nu,\alpha/2}\right)$$

したがって、は上記の境界になります$t_{\nu,\alpha/2}$

$$t_{\nu,\alpha/2} \leq \frac{\nu}{\nu-2}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$$

明らかな下限を追加し、によって分割し$\sqrt{\nu+1}$

$$0 \leq \frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{\nu+1}} \leq \frac{\nu}{\sqrt{\nu+1}\left(\nu-2\right)}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$$

これはをから0に n→$t_{n-1,\alpha/2} / \sqrt{n}$$n \to \infty$

これを行う簡単な方法があると私は確信していますが、結果は以下からすぐに得られます：

命題：レッツ連続分布関数となりそのような分布関数のシーケンス（分布すなわち、）弱いです。次に、を均一にします。F n F n → F F n（x ）→ F （x ）$F$$F_n$$F_n \to F$$F_n(x) \to F(x)$$x$

証明：連続性と単調性を使用して、任意の自然数に対して、（および）となるを選択できます。弱い収束とが連続であることにより、。いずれかのために、間隔見つけるを含有するとメモをその。したがって、と、X 0、xは1、... 、xはmは F （XのJ）= J / M X 0 = - ∞ X M = ∞ F F N（X J）→ F （XのJ）Y [ XのJ - 1、Xをj ] y | F n（y ）− $m$$x_0, x_1, \ldots, x_m$$F(x_j) = j/m$$x_0 = -\infty$$x_m = \infty$$F$$F_n(x_j) \to F(x_j)$$y$$[x_{j-1}, x_{j}]$$y$¯ LIMのn→∞のSUPY| Fn（y）−F（y）| ≤$|F_n(y) - F(y)| \le \sup_j |F_n(x_j) - F(x_j)| + |F(x_j) - F(x_{j-1})| \to \frac{1}{m}$ msupy| Fn（y）−F（y）| →$\varlimsup_{n \to \infty} \sup_y |F_n(y) - F(y)| \le \frac 1 m$$m$任意でした。$\sup_y |F_n(y) - F(y)| \to 0$

次に、が標準正規分布に分布で収束するのは、Slutskyの定理のよく知られたアプリケーションです。前の結果は、、つまり。通常の分位関数を両側に適用すると、ます。 F N（T N - 1 、α）- F （T N - 1 、α）→ 0 F （T N - 1 、α）→ α T N - 1 、α → Z $t_{n-1}$$F_n(t_{n-1,\alpha}) - F(t_{n-1,\alpha}) \to 0$$F(t_{n-1,\alpha}) \to \alpha$$t_{n-1,\alpha} \to z_{\alpha}$

したがって暗示いずれかに対する（特に、）。T N - 1 、$t_{n-1,\alpha} \to z_{\alpha}$G（N）→∞G（N）=$\frac{t_{n-1,\alpha}}{g(n)} \to 0$$g(n) \to \infty$$g(n) = \sqrt n$

幾何学的証明

幾何学的ビュー

観測されたサンプルをn次元ユークリッド空間の点と見なし、平均の推定を観測のモデル線への投影と。x 1 = x 2 = 。。。= X N = ˉ $x_1,x_2,...,x_n$$x_1=x_2= ... = x_n = \bar{x}$

tスコアは、この空間の2つの距離の比率として表すことができます

• 投影された点と母集団間の距離 $$\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)$$
• この点と観測の間の距離 $$\sqrt{\sum_{i=1}^n(\hat{x}-x_i)^2}$$

これは、観測とそれが投影される線との間の角度の正接に関連しています。

$$\frac{t}{\sqrt{n-1} } =\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(\hat{x}-x_i)^2}} = \frac{1}{\tan{\theta}}$$

等価t分布と角度分布

この幾何学的ビューでは、tスコアが特定の値よりも高い確率は、角度が特定の値よりも小さい確率と同等です。

$$Pr(|T|>t_{n-1,\alpha/2}) = 2 Pr(\theta \leq \theta_{\nu,\alpha}) = \alpha$$

または

$$\frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{n-1}} = \frac{1}{\tan \theta_{\nu,\alpha}}$$

tスコアは、理論モデルの線と観測の角度に関連していると言えます。信頼区間の外側の点の場合（はから離れていて、角度は小さくなります）、角度はいくつかの制限下回ります。この制限は、より多くの観測で変化します。この角度の制限が大きいに対して90度になる（円錐の形状がより平坦になる、つまり、先のとがらなくなって長くなります）、これは信頼区間のサイズが小さくなり、近づくことを意味しますゼロ。$\mu$$\bar{x}$$\theta_{\nu,\alpha}$$\theta_{\nu,\alpha}$$n$

n球のキャップの相対面積としての角度分布

独立した正規分布変数の同時確率分布の対称性により、すべての方向は確率が等しく、角度が特定の領域内にある確率は、n球のキャップの相対面積に等しくなります。

このnキャップの相対面積は、n錐台の面積を積分することによって求められます。

$$\begin{array}{rcl} 2 Pr(\theta \leq \theta_c)& =& 2 \int_{\frac{1}{\sqrt{1+\tan(\theta_c)^2}}}^1 \frac{(1-x^2)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dx \\ &=& \int_{\frac{1}{{1+\tan(\theta_c)^2}}}^1 \frac{t^{-0.5}(1-t)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dt \\ &=& I_{\frac{1}{{1+\tan(\theta_c)^2}}}\left(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2} \right) \end{array}$$

ここで、は、上位の正規化された不完全ベータ関数です。$I_x(\cdot,\cdot)$

角度の限界

場合 90度に移行次に ゼロになります。$\theta_{n,\alpha}$$n \to \infty$$t_{n-1,\alpha/2}/\sqrt{n}$

または逆のステートメント：90度より小さい角度の場合、n球上のその角度の相対面積は、が無限大になるとゼロに減少します。$n$

直感的には、これは、次元が無限大に増加するにつれて、n球のすべての領域が赤道に集中することを意味します。$n$

定量的には、式を使用してこれを示すことができます

$$\int_{a}^1 \frac{t^{-0.5}(1-t)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dt < \int_{a}^1 \frac{(1-a)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dt = \frac{(1-a)^{\frac{n-1}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} = L(n)$$

との違いを考慮してください。$L(n+2)$$L(n)$

ある時点で、分母の減少は分子の減少に引き継がれますあり、関数はから無限大までゼロに減少します。

$$\frac{B(\frac{1}{2},x+1)}{B(\frac{1}{2},x)} = \frac{x}{x+\frac{1}{2}}$$ $$\frac{(1-a)^{\frac{n+1}{2}}}{(1-a)^{\frac{n-1}{2}}} = 1-a$$ $L(n)$$n$

我々は持っています

$$\begin{align} \frac{\alpha}{2} &= \int \limits_{t_{n-1, \alpha/2}}^\infty \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{(n-1) \pi}} \cdot \frac{\Gamma(\tfrac{n}{2})}{\Gamma(\tfrac{n-1}{2})} \Big( 1+ \frac{r^2}{n-1} \Big)^{-n/2} dr \\[10pt] &= \int \limits_{t_{n-1, \alpha/2}}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}r^2} dr \\[10pt] &= 1-\Phi(t_{n-1, \alpha/2}) \\[10pt] &\approx 1-\left[\frac{1}{2}+\varphi(t_{n-1, \alpha/2}) \left(t_{n-1, \alpha/2}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^3}{3}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^5}{15} + \dots \right) \right] \end{align}$$

これは、最大のがであるため、囲み括弧内の2番目の項は最大でであることを意味します。は正規分布のあることに注意してください。この近似もこれに基づいています。$\frac{1}{2}$$\alpha$$1$$\varphi(x)$

したがって、

$$0 < \alpha \approx 1+2\varphi(t_{n-1, \alpha/2}) \left(t_{n-1, \alpha/2}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^3}{3}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^5}{15} + \dots \right) <1$$