AR（1）をMA（

AR（1）プロセスは

$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$$

この式を再帰的に使用すると、

$$X_t = \phi(\phi X_{t-2} + \varepsilon_{t-1}) + \varepsilon_t = \phi^2X_{t-2} + \phi\varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t = \cdots = \phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}$$

させたら $k\to\infty$、 我々が得る

$$X_t = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}) = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k}) + \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$$ AR（1）とMA（$\infty$）の間の双対性は、2つの間に同等性があり、$X_t$を次のように書くことができることを示しています

$$X_t = \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$$

2つの結果の違いは、用語$\lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k})$であり、これはゼロでなければなりませんが、これをどのように表示できますか？

想定 、もちろんですが、なぜかわかりません。収束は多数の法則を前提としていますか、それとも同等性を示す別の方法はありますか？$|\phi| < 1$$\lim_{k\to\infty}\phi^k = 0$$\lim_{k\to\infty} X_{t-k} < \infty$

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ラグ演算子を反転する証明があることは知っていますが、演算子を反転できる理由を見つけることができなかったので、上記のような別の証明が必要でした。$1-B$

この場合の収束が理解される通常の意味は、平均二乗です。

$$E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=\phi^{2(j+1)} E[Y_{t-j-1}]^2$$ が静止している 場合 したがって、 $Y_t$ $$E[Y_{t-j-1}]^2=\gamma_0+\mu^2$$ $$\lim_{j\to\infty}E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=0$$

あなたはこのステップに疑いを抱くのは当然であり、実際、のサイズを制限するためのさらなる仮定がないと、必要なフォームを取得できません。ARモデルの再帰方程式は、プロセスの共同分布を生成するには不十分であることを覚えておいてください。（エラープロセスに分布を課す必要があり、その場合でも、定常性を課すか、非定常モデルにつながる初期分布を指定する必要があります。）この再帰方程式しかない場合、その理由はありません。時系列値はように大きな値に分解できませんでした。$X_{-\infty}$$t \rightarrow -\infty$

たとえば、確定的非定常ARプロセスは、指定した再帰方程式（エラーなし）を満たし、この場合、。このモデルでは、任意の次のものも持っています。$X_t = \phi^t$$\lim_{k \rightarrow \infty} X_{t-k} = \infty$$\phi \neq 0$

$$\phi^k X_{t-k} = \phi^k \phi^{t-k} = \phi^t \neq 0.$$

この決定論的モデルではエラーはゼロであるため、制限された結果が得られます。

$$X_t = \underbrace{\sum_{k=0}^\infty \phi^k \varepsilon_{t-k}}_{0} + \underbrace{\lim_{k \rightarrow \infty} \phi^k X_{t-k}}_{\phi^t}. \\[6pt]$$

明らかに、この場合、制限項はゼロではなく、結果から削除できません。この最後の項を削除できるようにしたい場合は、モデルにさらに仮定（定常性など）を追加する必要があります。