相関する確率変数の差の限界

2つの高度に相関する確率変数および与えられた場合、その差の確率を制限しますある量を超える： $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

簡単にするために、次のことを前提とします。

相関係数が"高"であることが知られている、と言う： $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
ゼロ平均である： $X,Y$ $\mu_x = \mu_y = 0$
（又はそれは簡単任意の場合） $-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
（それが簡単に物事を行った場合、のは言わせて、同一の分散を有する：） $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

上記の情報しか与えられていないので、違いの限界を導き出すのがどれほど現実的であるかわかりません（確かにどこにも行きませんでした）。特定のソリューション（存在する場合）、ディストリビューションに課す必須の追加の制限、またはアプローチに関するアドバイスだけが素晴らしいでしょう。

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
ソース

これらの単純化した仮定がなくても、通常のツールをいくつか組み合わせることで境界を取得できます。

少し詳しく：

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

$Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

$\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

提案された単純化の仮定を使用して、より単純な式を取得できます。いつ：

ρ_{X, Y} = c o v a r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

次に：

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

したがって：

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

$\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— ペレ
ソース