最小推定量の改善

私が持っていると仮定し$n$推定するための正のパラメータ$\mu_1,\mu_2,...,\mu_n$およびそれらの対応する$n$推定器によって生成公平推定値$\hat{\mu_1},\hat{\mu_2},...,\hat{\mu_n}$、すなわち$\mathrm E[\hat{\mu_1}]=\mu_1$、$\mathrm E[\hat{\mu_2}]=\mu_2$など。

私は推定したい$\mathrm{min}(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n)$手での推定値を使用します。明確ナイーブ推定$\mathrm{min}(\hat{\mu_1},\hat{\mu_2},...,\hat{\mu_n})$として低いバイアスされる

$$\mathrm E[\mathrm{min}(\hat{\mu_1},\hat{\mu_2},...,\hat{\mu_n})]\leq \mathrm{min}(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n)$$

私はまた、対応する推定の共分散行列があると$\mathrm{Cov}(\hat{\mu_1},\hat{\mu_2},...,\hat{\mu_n}) = \Sigma$手元。与えられた推定値と共分散行列を使用して、偏りのない（または偏りの少ない）最小推定値を取得することは可能ですか？

公平な推定量の存在について明確な答えはありません。しかし、推定誤差の観点では、推定一般的には本質的に難しい問題です。$\min(\mu_1, \dots, \mu_n)$

$Y_1, \dots, Y_N \sim N(\mu, \sigma^2I)$$\mu = (\mu_1, \dots, \mu_n)$$\theta = \min_i \mu_i$$\hat{\theta}$$\theta$$\hat{\theta} = \min_i(\bar{Y}_i)$$\bar{Y_i} = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N Y_{i,j}$$L_2$

$$\mathbb{E}[\hat{\theta} - \theta]^2 \lessapprox \frac{\sigma^2\log n}{N}$$ $\mu_i$$\frac{\sigma^2}{N}$$\mu_i$$\sigma$$\frac{\sigma^2}{N}$$\theta$ $$\inf_{\hat{\theta}} \sup_{\mu_1, \dots,\mu_n} \mathbb{E}[\hat{\theta} - \theta]^2 \gtrapprox \frac{\sigma^2\log n}{N}$$ $\theta$$Y_1,\dots, Y_N$$\mu_i$

$\theta$

$\mu$$\mu$$\mu$$\min(\hat\mu_1,...,\hat\mu_n)$

---

$(\mu_1, ..., \mu_n)$$MVN(\hat{\mu}, \Sigma)$

$\Sigma$$\mu \sim MVN(\frac{\hat{\mu} + m \lambda_0}{1 + m}, \frac{1}{n+m} \Sigma)$$\lambda_0$$m$$\mu \sim MVN(\lambda_0, m^{-1} \Sigma$$\mu$$m \rightarrow 0$$\mu \sim MVN(\hat{\mu}, \Sigma)$$\mu$

$min(\mu)$$\mu$$min(\mu)$$m = 0.1$

$\mu$$(\mu_1, ..., \mu_n)$