表示とを独立している：この教科書の問題に対する解決策を求めています

では一般化線形モデルへの紹介は以下のようドブソンとバーネットによって、運動1.4b＆Cは次のようになります。

ましょう独立したランダム分布と各変数である。およびましょう。...$Y_1,...,Y_n$$N(\mu,\sigma^2)$$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\overline{Y})^2$

b。示すこと$S^2 = \frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\mu)^2-n(\overline{Y}-\mu)^2]$

c。（b）から、。これにより、どのようにしてとが独立していると推測できますか？$\sum(Y_i-\mu)^2/\sigma^2 = (n-1)S^2/\sigma^2+[(\overline{Y}-\mu)^2n/\sigma^2]$ $\overline{Y}$ $S^2$

私の問題は、cの式で太字の質問にどのように答えられるかわからないことです。

私は2つが一般に独立していることを証明する方法を知っています（以前に尋ねられました）。

さらに、私が解決策を見ると、彼らは言う：

（c）と（d）はp.10の結果から続きます

10ページの使用の最も近いものは、カイ二乗分布の生殖財産であり、ない場合にのみif文なので、私はそれがここで使用することができないと思います。

だから私の質問は、c）の方程式が独立性を証明するのにどのように役立つのですか？

著者が何を考えているのかはわかりませんが、（c）を使用して考えられる最も近い解決策は、コクランの定理を適用することです。あなたはそれをカバーしましたか、それとも特別なケースでしょうか？

これを使用した証明は次のとおりです。

LETそうと。そのノート ここで（c）は を教えてくれ これは書くことができますと両方がべき等であるため、コクランの定理によりと結論付けることができます$Z_i = \frac{Y_i - \mu}{\sigma}$$Z_i \sim \mathcal N(0, 1)$$\bar Z \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n)$

$$\left(\frac{Y_i - \bar Y}{\sigma}\right)^2 = \left(\frac{Y_i - \mu}{\sigma} - \frac{\bar Y - \mu}{\sigma}\right)^2 = \left(Z_i - \bar Z\right)^2.$$ $$\sum_i Z_i^2 = \sum_i (Z_i - \bar Z)^2 + n\bar Z^2$$ $\newcommand{\one}{\mathbf 1}$ $$Z^T Z = Z^T \left(I - \frac 1n \one \one^T\right)Z + Z^T\left(\frac 1n \one \one^T\right) Z.$$ $I - \frac 1n \one \one^T + \frac 1n \one \one^T =I$$\sum_i (Y_i - \mu)^2 \perp n(\bar Y - \mu)^2$ 残りは続く。

$\square$

それが彼らの狙いでしょうか？