位数のための閉じた形の式

2つのランダム変数、があり、は一様な0-1分布です。 $\alpha_i\sim \text{iid }U(0,1),\;\;i=1,2$ $U(0,1)$

次に、これらはプロセスを生成します：

P (x) = α_{1} \sin (x) + α_{2} \cos (x), x \in (0, 2 π)

$P(x)=\alpha_1\sin(x)+\alpha_2\cos(x), \;\;\;x\in (0,2\pi)$

今、私はの与えられたのの理論的な75パーセント分位の閉形式表現があるかどうか疑問に思っていました --iコンピューターと多くの実現でそれができると仮定しますが、私は閉じた形を好むでしょう-。 $F^{-1}(P(x);0.75)$ $P(x)$ $x\in(0,2\pi)$ $P(x)$

distributions probability stochastic-processes

— user603
ソース

とは統計的に独立していると仮定したいと思います。

_{1}

$_1$

_{2}

$_2$

— マイケルR.チャーニック

@Procrastinator：これを答えとして書くことができますか？

— user603

（+1）「プロセス」の観点は、ここでは少し赤いニシンのようです。ライト

P (x) = β_{1} \sin x + β_{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = \beta_1 \sin x + \beta_2 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$ ここで、

β_{i} = α_{i} - 1 / 2 \sim U (- 1 / 2, 1 / 2)

$\beta_i = \alpha_i - 1/2 \sim \mathcal U(-1/2,1/2)$ 。次に、各固定

x

$x$ について、最初の2つの項は台形密度関数を決定し、最後の項は単なる平均オフセットです。台形密度の決意のために、我々は考える必要がある

x \in [0, π / 2)

$x \in [0,\pi/2)$ 。

— 枢機

数値的にこれは使用することにより簡単に行うことができるquant = function(n,p,x) return( quantile(runif(n)*sin(x)+runif(n)*cos(x),p) )とquant(100000,0.75,1)。

この問題は、台形分布の分位数を見つけることの1つにすぐに減らすことができます。

私たちのように、プロセスを書き換えてみましょうここで、及び IIDである ;ランダム変数そして、対称性により、これは同じ有するマージナルプロセスとして分布

P (x) = U_{1} \cdot \frac{1}{2} \sin x + U_{2} \cdot \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$P(x) = U_1 \cdot \frac12 \sin x + U_2 \cdot \frac12 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

U (- 1, 1)

$\mathcal U(-1,1)$

最初の2つの項は対称台形密度を決定します。これは、これが2つの平均ゼロの一様ランダム変数（一般に、異なる半値幅）の合計であるためです。最後の項はこの密度の並進になり、分位数はこの並進に対して同変です（つまり、シフト分布の分位数は中央分布のシフト分位数です）。

\bar{P} (x) = U_{1} \cdot | \frac{1}{2} \sin x | + U_{2} \cdot | \frac{1}{2} \cos x | + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) .

$\overline P(x) = U_1 \cdot \left|\frac12 \sin x\right| + U_2 \cdot \left|\frac12 \cos x\right| + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>.$

台形分布の分位点

ましょう及び独立している及びの分布。一般性を失うことなく想定。次に、の密度は、と密度を畳み込むことによって形成されます。これは容易に頂点を有する台形であることが示されている $Y = X_1 + X_2$ $X_1$ $X_2$ $\mathcal U(-a,a)$ $\mathcal U(-b,b)$ $a \geq b$ $Y$ $X_1$ $X_2$ 、、および。 $(-a-b,0)$ $(-a+b,1/2a)$ $(a-b,1/2a)$ $(a+b,0)$

分布の分位いずれかのために、、このように、ある $Y$ $p < 1/2$

q (p) := q (p; a, b) = {\begin{cases} \sqrt{8 a b p} - (a + b), & p < b / 2 a \\ (2 p - 1) a, & b / 2 a \leq p \leq 1 / 2 . \end{cases}

$q(p) := q(p\,; a,b) = \begin{cases} \sqrt{8abp} - (a+b) \,, & p < b/2a \\ (2p - 1) a \,, & b/2a \leq p \leq 1/2 \>. \end{cases}$

p > 1 / 2

$p > 1/2$

q (p) = - q (1 - p)

$q(p) = - q(1-p)$

手元のケースに戻る

$|\sin x| \geq |\cos x|$ $|\sin x| < |\cos x|$ $2a$ $2b$ $\overline P(x)$

$p < 1/2$ $|\sin x| \geq |\cos x|$ $a = |\sin x|/2$ $b=|\cos x|/2$

q_{x} (p) = q (p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = q(p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

| \sin x | < | \cos x |

$|\sin x| < |\cos x|$

p \geq 1 / 2

$p \geq 1/2$

q_{x} (p) = - q (1 - p; a, b) + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x),

$q_x(p) = -q(1-p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$

変位値

$P(x)$ $x$ $0$ $2\pi$ $y$ $p$ $P(x)$

xの関数としての分位点

$p = 1/2$ $p=0$ $p=1$ $p=1/4$ $p=3/4$

分位点プロット

サンプルRコード

qproc $P(x)$ $x$ qtrap

# Pointwise quantiles of a random process: 
# P(x) = a_1 sin(x) + a_2 cos(x)

# Trapezoidal distribution quantile
# Assumes X = U + V where U~Uni(-a,a), V~Uni(-b,b) and a >= b
qtrap <- function(p, a, b)
{
    if( a < b) stop("I need a >= b.")
    s <- 2*(p<=1/2) - 1
    p <- ifelse(p<= 1/2, p, 1-p)
    s * ifelse( p < b/2/a, sqrt(8*a*b*p)-a-b, (2*p-1)*a )
}

# Now, here is the process's quantile function.
qproc <- function(p, x)
{
    s <- abs(sin(x))
    c <- abs(cos(x))
    a <- ifelse(s>c, s, c)
    b <- ifelse(s<c, s, c)
    qtrap(p,a/2, b/2) + 0.5*(sin(x)+cos(x))
}

以下は、対応する出力のテストです。

# Test case
set.seed(17)
n <- 1e4
x <- -pi/8
r <- runif(n) * sin(x) + runif(n) * cos(x)

# Sample quantiles, then actual.
> round(quantile(r,(0:10)/10),3)
    0%    10%    20%    30%    40%    50%    60%    70%    80%    90%   100%
-0.380 -0.111 -0.002  0.093  0.186  0.275  0.365  0.453  0.550  0.659  0.917
> round(qproc((0:10)/10, x),3)
 [1] -0.383 -0.117 -0.007  0.086  0.178  0.271  0.363  0.455  0.548
[10]  0.658  0.924

— 枢機卿
ソース

もっと賛成できたらいいな。これが私がこのウェブサイトを愛する理由です：専門化の力。台形の分布を知りませんでした。これを理解するには少し時間がかかりました。または、ユニフォームの代わりにガウス分布を使用して解決する必要がありました。とにかく、それは素晴らしいです。

— user603