Wishart行列の対数行列の期待値

ましょう、すなわち、に従って分布の平均と二次元ウィシャート分布と自由度。私はのための表現たいどこ決定要因です。 $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

私はこれに対する答えをグーグルで検索しましたが、矛盾する情報を入手しました。このペーパーでは、明示的に述べていここで、はディガンマ関数を示します ; 私が知る限り、この論文はこの事実の情報源を提供していません。これは、Wishartのウィキペディアページで使用される式でもあり、ビショップのパターン認識テキストを掲載しています。

E （ ログ | Λ | ） = D ログ 2 + ログ | Ψ | + \sum_{私 = 1}^{D} ψ （ \frac{ν - 私 + 1}{2} ）

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

一方、アップオングーグルこの議論を連結紙とその状態、その彼らがいることを示すことによって結論これは、。から始めてこの計算をチェックしましたが、問題ないようですが、余分なます。

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} 〜 χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} 。 （ † ）

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

E （ ログ | Λ | ） = D ログ 2 - D ログ ν + ログ | Ψ | + \sum_{私 = 1}^{D} ψ （ \frac{ν - 私 + 1}{2} ）

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— 男
ソース

これを投稿する準備ができていたので、自分の質問に答えることができました。StackExchangeの一般的なエチケットに従って、この問題に遭遇した他の誰かが将来、おそらくソースと同じ問題に遭遇した後にこれを見つけられることを期待して、とにかく投稿することにしました。解決策が面白くないので誰も時間を無駄にしないように、すぐに答えることにしました。

$(\dagger)$ は間違っています。これは、ディスカッションでリンクされている論文がウィシャートの異なるパラメーター化を使用していたためです。これは討論者によって気づかれませんでした。実際に必要なのはこの修正後、2つの式は同じ答えになります。

\frac{| Λ |}{| Ψ |} 〜 χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} 。 （ † † ）

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

とにかく、は興味深い関係だと思います。 $(\dagger\dagger)$

編集：

probabilisticlogicのアドバイス以下のように書くことができる下三角有する対角とオフ要素対角要素。両側の決定を行うと、すぐにが得られます。 $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— 男
ソース

コレスキー版の方が好きです-対角線上にカイ二乗の平方根があり、下三角に標準法線があります。

— 確率の

@probabilityislogicヒントをありがとう！そのように覚えておくと、より簡単で便利に思えます。

— 男

ちょっと私は、複雑に見えるログウィシャート（ビショップの本に記載されている）の期待を導き出そうとしていますが、結果を導き出すためのソースを見つけましたか？

— アボカド