線形結合の下で定常性は維持されますか？

生成する定常的な2つの時系列プロセスがあるとします$x_t,y_t$。

ある$z_t=\alpha x_t +\beta y_t$、$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$にも固定しますか？

任意の助けをいただければ幸いです。

MAの表現があるので、はいと言います。

おそらく驚くべきことに、これは真実ではありません。 （ただし、2つの時系列の独立性により、それが実現されます。）

「安定」とは静止していることを意味します。これらの単語は、サイト上の少なくとも1つを含む数百万の検索ヒットで同じ意味で使用されているように見えるためです。

反例として、をすべてのX tがX s、s ≠ t から独立しており、周辺分布が0を中心に対称である非定常定常時系列とします。定義する$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

これらのプロットは、この投稿で説明した3つの時系列の一部を示しています。 は、標準正規分布からの一連の独立したドローとしてシミュレートされました。$X$

ことを示すために、静止している、我々は、結合分布することを実証する必要がある（Y S + T 1、Y S + T 2、... 、Y S + T N）いずれかのT 1 < T 2 < ⋯ < T NのDOEをsに依存しません。しかし、これはX tの対称性と独立性から直接続きます。 $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

（512の値のシーケンスのためのこれらの遅れ散布）のジョイント二変量分布という主張示すYは独立した対称：として期待されています。（「遅延散布図」は、Y tに対するY t + sの値を表示します; sの値$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$示されています。）$s=0,1,2$

それでも、、我々は持っています$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

偶数およびそれ以外の場合$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

以来、非一定である、明らかにこれらの2つの式は任意に異なる分布を有し、TおよびT + 1を直列そこから、（X + Y ）/ 2が静止していません。最初の図の色は、この非定常性を強調しています（X + Y $X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$ゼロ値を他の値と区別することにより / 2のています。$(X+Y)/2$

二次元プロセスを検討する

$$w_t = (x_t, y_t)$$

厳密に静止している場合、またはプロセスと（y t）がともに厳密に静止している場合、測定可能な関数f ：= f （x t、y t）、f ：R 2によって形成されるプロセス$(x_t)$$(y_t)$も厳密に静止します。$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

@whuberの例では

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

このが厳密に静止しているかどうかを調べるには、まずその確率分布を取得する必要があります。変数が完全に連続していると仮定します。いくつかのために、C ∈ R、我々は持っています$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$x_t$

$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

厳密な定常性のためには、

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

And we don't have this equality $\forall t,k$, because, say, if $t$ is even and $k$ is odd, then $t+k$ is odd, in which case

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

while

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

So we do not have joint strict stationarity, and then we have no guarantees about what will happen to a function of $f(x_t,y_t)$.

I have to point out that the dependence between $x_t$ and $y_t$, is a necessary but not a sufficient condition for the loss of joint strict stationarity. It is the additional assumption of dependence of $y_t$ on the index that does the job.

Consider

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

If one does the previous work for $(q_t)$ one will find that joint strict stationarity holds here.

This is good news because for a process to depend on the index and be strictly stationary is not among the modelling assumptions we need to make very often. In practice therefore, if we have marginal strict stationarity, we expect also joint strict stationarity even in the presence of dependence (although we should of course check.)

I would say yes, since it has an MA representation.

One observation. I think that having a MA representation implies weak stationarity, not sure if it implies strong stationarity.