確率論は、1つに統合/合計する非負の関数の研究ですか？

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これはおそらくばかげた質問ですが、確率論は1つに統合/合計する関数の研究ですか？

編集。非負性を忘れました。確率論は、1つに統合/合計する非負の関数の研究ですか？

probability mathematical-statistics measure-theory

— ドンルー
ソース

はい、確率は常に1になります。一方、尤度にはこの制約はありません。

— マイクハンター

2

述べられている質問に対する唯一の合理的な答えはnoです。特に、1に統合される関数が多数ありますが、はおよび確率を表すことができないためです。たとえば、0から1の間が1.5で、1から2の間が-0.5で、他のすべての場所で0である関数を考えます。（しかし、それは他の理由でも間違いなく「いいえ」です。）

f

$f$

\int_{a}^{b} f (u) d u

$\int_{a}^b f(u) du$

a

$a$

b

$b$

— Glen_b-モニカを復活

2

関連：stats.stackexchange.com/questions/214485/...

— イルマリKaronen

1

負の確率に関する深刻な論文、例えばモーリス・S・バートレットがあります。doi.org/10.1017/S0305004100022398

— ニックコックス

2

@dontlooが私が目指していたものは、現在Chaconneの答えのTaoの引用でかなりよくカバーされています。

— Glen_b-モニカの復活

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純粋に形式的なレベルでは、確率論は総測度1の測度空間の研究と呼ぶことができますが、それは数字理論を終了する数字列の研究と呼ぶようなものです

-テリータオのランダムマトリックス理論のトピックから。

これは本当に基本的なことだと思います。我々は確率空間持っていればとランダム変数 pushforward対策と、そしてその理由密度は、ため1つに統合されます。そして、それはpdfs対pmfsよりも基本的です。 $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X : \Omega \to \mathbb R$ $P_X := P \circ X^{-1}$ $f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$ $P(\Omega) = 1$

証明は次のとおりです。

\int_{R} f d μ = \int_{R} d P_{X} = P_{X} (R) = P ({ω \in Ω : X (ω) \in R}) = P (Ω) = 1.

$\int_{\mathbb R} f \,\text d\mu = \int_{\mathbb R} \,\text dP_X = P_X(\mathbb R) = P\left(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in \mathbb R\}\right) = P(\Omega) = 1.$

これは、AdamOの答え（+1）をほぼ言い換えたものです。すべてのCDFがcàdlàgであり、上のCDF のセットとが、RVのCDFはその分布の観点から定義されているため、確率空間をこの種の努力で「開始」する場所と考えています。 $\mathbb R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

CDFと確率測度の対応と、この質問に対する両方の合理的な回答について詳しく説明するために更新しています。

まず、2つの確率測定から始め、対応するCDFを分析します。代わりに、CDFから始めて、CDFによって引き起こされる測定値を調べます。

レッツおよび上の確率測度こととしましょうと、それぞれのCDF（すなわちもと同様のための）。およびどちらもランダム変数（つまり分布）のプッシュフォワードメジャーを表しますが、実際にはそれらがどこから来たかは重要ではありません。 $Q$ $R$ $(\mathbb R, \mathbb B)$ $F_Q$ $F_R$ $F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $R$ $Q$ $R$

重要な考え方は次のとおりですとが十分に豊富な集合の集合に同意する場合、それらはそれらの集合によって生成される代数に同意します。直観的には、数え切れないほどの数の補数、交差点、および結合がすべての形成する行儀の良いイベントのコレクションがある場合、それらのすべてのセットに同意すると、ボレルのセットに反対する余地はありません。 $Q$ $R$ $\sigma$ $\mathbb B$

それを形式化しましょう。LET とせ、すなわちのサブセットであるその上に及び定義されたは必ずしものサブセットではないため、ボレル以外のセットで合意できるようにしていることに注意してください。 $\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$ $\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$ $\mathcal L$ $\mathcal P(\mathbb R)$ $Q$ $R$ $\mathcal L$ 。私たちの目標は、ことを示すことである。 $\mathbb B$ $\mathbb B \subseteq \mathcal L$

これは、ことが判明（ -代数によって生成された）実際には私たちがいることを願っていますので、あれば、イベントの十分に大きな集合体である上のどこでもその後、すべてので等しくなるように強制されます。 $\sigma(\mathscr S)$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\mathbb B$ $\mathscr S$ $Q = R$ $\mathscr S$ $\mathbb B$

は有限交差の下で閉じられ、は補数および可算の互いに素な交差の下で閉じられることに注意してください（これは -additivity から続きます）。これは、がシステムであり、がシステムであることを意味します。 -定理したがって、我々は持っている。の要素 $\mathscr S$ $\mathcal L$ $\sigma$ $\mathscr S$ $\pi$ $\mathcal L$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$ $\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$ $\mathscr S$ 任意ボレル集合として複合体としてであるほど遠いされないが、任意のボレル集合は、補体、組合、および要素の交点の可算数から形成することができるのでとの間の単一の不一致が存在しない場合、およびには要素を使用すると、これは不一致がないまで続きます。 $\mathscr S$ $Q$ $R$ $\mathscr S$ $B \in \mathbb B$

我々は、ちょうど場合が示されている次いで、（上マップことを意味する）、よりからはインジェクションです。 $F_Q = F_R$ $Q = R$ $\mathbb B$ $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$ $\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

ここで、他の方向に進むことを考えたい場合、CDFから始めて、ような一意の確率測度があることを示し。これにより、マッピングが実際に全単射であることが確立されますこの方向では、確率または測度を参照せずにを定義します。 $F$ $Q$ $F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$ $Q \mapsto F_Q$ $F$

まず定義スティールチェス測度関数を関数としてよう $G : \mathbb R \to \mathbb R$

は減少しない $G$
は連続的です $G$

（また、この定義からcàdlàgがどのように続くかに注意してください。ただし、追加の非減少制約のために、「ほとんどの」càdlàg関数はStieltjesメジャー関数ではありません）。

なお、各スティールチェスが機能することを示すことができるユニークなメジャー誘導にによって定義される（例えば、参照Durrettの確率とランダムプロセスの詳細をたとえば、ルベーグ測度はによって誘導されます。 $G$ $\mu$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

μ ((a, b]) = G (b) - G (a)

$\mu\left((a, b]\right) = G(b) - G(a)$

ます。

G (x) = x

$G(x) = x$

今CDFはスティールチェス関数であることに注意その追加の特性を有すると、その結果を適用して、CDF ごとに $F$ $\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$ $\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$ $F$ 我々は独自の尺度取得上で定義されます $Q$ $(\mathbb R, \mathbb B)$

Q ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$Q\left((a, b]\right) = F(b) - F(a).$

注どのようにとを $Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$ $Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$ したがって、は確率測度であり、を定義するために使用したものとまったく同じです。 $Q$ $F$

マッピングが1-1がので、と間に全単射があります。これを実際の質問に戻すと、これは、CDFまたは確率測度のいずれかを、確率が研究であると宣言するオブジェクトとして同等に保持できることを示しています（これはやや面倒な努力であることも認識しています）。私は理論がその方向に自然に流れるように感じるが、CDFは「間違った」ものではないので、私はまだ確率空間を好みます。 $Q \mapsto F_Q$ $\mathscr P$ $\mathcal F$

— jld
ソース

3

事項に関するより広い視野のために+1。Skorokhodの関数関数空間は、確率理論が必要とするものの現在の概念にすぎず、Borelの理論とは根本的に異なり、Skorokhodの発見は約40年前にさかのぼることに注意してください。次の世紀に何が明らかになるのか誰が知っていますか？

— AdamO

1

@AdamO絶対に、非アルキメデスの確率のような奇妙なものがあります。それらが支配的な見解にならない場合でも（そして、私の知る限り、誰も真剣にそれをしようとしていません）、私は彼らが標準処方をよりよく理解するのに役立つとわかりますたとえば、シグマの相加性の深刻さ）

— -jld

質問のタイトルを読んで、Terence Taoからの引用を考えました。何年も前（2010）に読んでいたに違いないが、それは本当に記憶に残る。彼が言うようになると、実用的なレベルでは、逆は真である...

— ShreevatsaR

質問に関する私のコメントを参照してください：ベイジアン（およびDempster-ShaferとTransferable Belief ModelおよびDezert-Smarandache Theory）などの確率の代替理論、不正確な確率、妥当性理論などは、この質問と議論にどのように関連しますか？

— E.ダグラスジェンセン

@ E.DouglasJensen私は定かではありません、私は標準のコルモゴロフ公理の観点からこれに取り組んでいるので、その文脈では私の答えは「正しい」と思いますが、公理を変更する場合、すべての賭けはオフになると思います。また、私はこれについてまったく哲学的ではないので、「太陽が昇る確率はいくらですか」などの質問で、これを現実の世界に接続しようとすると、それが得られると確信していますより複雑。それにもかかわらず、「何でも」が起こる確率は最大値（おそらく

）であり、その中に不確実性はないということはかなり安全な賭けのようです

1

$1$

— jld

12

いいえ。カントール分布は、まさにそのようなAの反例です。これはランダム変数ですが、密度はありません。ただし、配布機能があります。したがって、確率論は、左限界が0、右限界が1のカントールDFを含むキャドラグ関数の研究であると言えます。

— AdamO
ソース

いいですね、cadlag関数のことは聞いたことがありません。ただし、これらはまだ実空間とメトリック空間を想定しています。すべての確率論がそのような空間で行われるわけではありません。

— HRSE

1

たとえば、テレンスファインの確率論に戻ることができます。また、cadlag関数（少なくともウィキペディアの記事によれば）にはドメインとして実数があることに注意してください。LJサベージの「統計の基礎」は、必ずしも現実ではない空間に関する（主観的）確率理論の説明を提供します。

— HRSE

1

@jwgこの投稿の他のコメントは負の確率を扱っています。これは、量子物理学では何らかの有用性があるようですが、私の単純な心ではそのようなことを推測できません。

— AdamO

1

@HRSE参照に感謝します。どちらもオンラインで見つけることはできませんでしたが、その例は見つかりませんでしたが、著者による他の論文をいくつか読みました。我々は、確率変数の定義している場合は

として

次いでCDFはpushforward尺度に関して定義される

（しないメジャー

上

および以降）

は実数値

は必ず

X

$X$

X : Ω \to R^{n}

$X : \Omega \to \mathbb R^n$

P_{X} := P \circ X^{- 1}

$P_X := P \circ X^{-1}$

P

$P$

(Ω, F)

$(\Omega, \mathscr F)$

X

$X$

P_{X}

$P_X$

これは

ように設定できるので、

はそのドメインとして

を持ちます。何か不足していますか？

(R^{n}, B^{n})

$(\mathbb R^n, \mathbb B^n)$

(- \infty, a]

$(-\infty, a]$

F

$F$

R^{n}

$\mathbb R^n$

— -jld

1

適切に順序付けされているとは、すべてのサブセットが最小の要素を持ち、完全に順序付けられたすべての

と

平均が

、

、または

いずれかであるため、

が両方、

が完全に順序付けられ、

はどちらでもありません。少なくとも

のコドメインように、確率を乗算して加算する必要があり

x

$x$

y

$y$

x < y

$x<y$

x > y

$x>y$

x = y

$x=y$

N

$\mathbb N$

R

$\mathbb R$

C

$\mathbb C$

P

$P$ フィールドである必要がありますが、完全に注文または完全に。複素数値メジャーは最初の例であり、超実数値メジャーは2番目の例です。ただし、これらはすべてメトリック空間です（または可能性があります）

— jld

6

良い答えが得られると確信していますが、ここでは少し異なる視点を示します。

物理学はほとんど数学である、または自然の最も基本的な法則への数学の単なる適用であると言っている数学者を聞いたことがあるかもしれません。一部の数学者（多くの場合）は、実際にこれを事実と信じています。大学で何度も聞いたことがある。これに関しては、これほど広範囲ではありませんが、あなたは同様の質問をしています。

物理学者は通常、この声明に応答することすら気にしません。それが真実ではないことは彼らにとってあまりにも明白です。しかし、あなたがそれを納得させたいなら、あなたが答えようとするなら、答えはそれほど些細ではないことが明らかになります。

私の答えは、物理学は単なるモデルや方程式、理論の集まりではないということです。これは、独自のアプローチとツール、ヒューリスティック、および考え方を備えたフィールドです。それが、ポアンカレがアインシュタインの前に相対性理論を開発したにもかかわらず、すべての意味を理解せず、全員を乗せることを追求しなかった理由の1つです。彼は物理学者であり、すぐにそれが意味するものを手に入れたからです。私はこの男のファンではありませんが、ブラウン運動に関する彼の研究は、物理学者が数学モデルを構築する方法のもう1つの例です。その論文は驚くべきものであり、物理学と見当違いの直感と思考の痕跡に満ちています。

したがって、私の答えは、確率があなたが説明した種類の関数を扱う場合であっても、それらの関数の研究ではなかったということです。また、メジャーのサブクラスに適用されるメジャー理論でもありません。確率論は確率を研究する明確な分野であり、放射性崩壊、量子力学、気体などを通じて自然界にリンクされています。特定の関数が確率のモデル化に適しているように思われる場合は、それらを使用して研究しますプロパティもありますが、その間、主な賞品である確率に注目します。

— アクサカル
ソース

1

数学の戦いに現実をもたらすとのための1 、実際にそのような還元主義は、ポイントを見逃していること、すなわち、唯一の合理的な答えを質問に答える

— JLDの

@シャコンヌ私は今日、還元主義という有用な言葉を学び、それを私の語彙に取り入れます:)

— Aksakal

+1、これは私が答えで言っていたものですが、私はあなたが思うよりも効果的ではないと言いました。

— ナサニエル

4

まあ、部分的には真実ですが、2番目の条件はありません。負の確率は意味をなしません。したがって、これらの関数は次の2つの条件を満たす必要があります。

$\int_{D} f (x) d x = 1 and f (x) > 0 \forall x \in D$ $\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$
$\sum_{x \in D} P (x) = 1 and 0 < P (x) \leq 1 \forall x \in D$ $\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$

$\mathcal{D}$

— カルロス・カンポス
ソース

答えてくれたCarlosに感謝します。実際、非負の条件が追加された場合はどうすればいいですか

— dontloo

1

確率密度/質量関数を研究するために確率場を削減すること（上位の特性を満たすこと）はむき出しすぎると思います。さらに、@ AdamOで述べられているように、確率変数関数は、明確に定義されたcdfを持っているにもかかわらず、確率密度関数を持たない場合があります。

— カルロスカンポス

@CarlosCampos：否定的な確率について：いくつかの文脈、たとえばハーフコインで実際に意味をなします。詳細については、en.wikipedia.org / wiki / Negative_probabilityを参照してください。

— インカイン

3

基本的に確率論とは違いますが、他の答えとは異なる理由でそれを言うでしょう。

基本的に、確率論は次の2つのことの研究です。

確率過程、および
ベイジアン推論。

確率的プロセスには、サイコロを転がす、fromからボールを引くなどのほか、物理学と数学で見られるより洗練されたモデルが含まれます。ベイジアン推論は、未知の量の値を表す確率を使用して、不確実性の下で推論します。

これらの2つのことは、最初に現れるよりも密接に関連しています。同じ傘の下でそれらを研究できる理由の1つは、両方の重要な側面を1つに合計/統合する非負の関数として表すことができることです。しかし、確率はそれらの関数の研究だけではありません-ランダムなプロセスと推論の観点からの解釈も重要です。

たとえば、確率理論には、条件付き確率や確率変数などの概念、エントロピー、相互情報、確率変数の期待値や分散などの量が含まれます。1の間にできた正規化された非負の機能の面で純粋にこれらの事を定義し、このための動機は、ランダムなプロセスと推論の観点から解釈することなく、かなり奇妙なように思われます。

さらに、確率論の概念、特に推論側の概念に出くわすことがあります。これは、1に正規化する非負の関数では表現できません。いわゆる「不適切な事前」がここで思い浮かび、AdamOは別の例としてCantorディストリビューションを挙げました。

確かに、正規化された非負関数の数学的特性に主な関心がある確率理論の領域がいくつかあります。そのため、私が言及した2つのアプリケーションドメインは重要ではありません。この場合、確率理論ではなく測定理論と呼ばれることがよくあります。しかし、確率論も-実際、私が主に言っているのは-応用分野であり、確率分布の応用はそれ自体が分野の重要な要素です。

— ナサニエル
ソース

2

確率論のトピックの領域をかなり狭くしました...

— ティム

@Timは意図的ではありません-私はそれを2つの領域に分けましたが、それぞれを非常に広く解釈することを意図していました。どちらの見出しにも当てはまらない他のトピックをいくつか教えてください。

— ナサニエル