場合

私は声明を証明しようとしています：

もし及びの独立確率変数であり、 $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

その場合、も正規確率変数です。 $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

特殊なケース（たとえば）の場合、というよく知られている結果が得られますいつでも及び独立している変数。実際、は独立した変数です。 $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

最後の結果の証明は、変換続きます。ここで、および。確かに、ここではおよび。目の前の問題のこの証拠を模倣しようとしましたが、乱雑になっているようです。 $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

エラーを発生させていない場合、、結合密度は次のようになります。 $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ $(U,V)$

f_{U, V} (u, v) = \frac{2}{σ_{1} σ_{2} π} \exp [- \sqrt{u^{2} + v^{2}} (\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + v}{σ_{1}^{2}} + \frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - v}{σ_{2}^{2}})]

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right]$

変換は1対1ではないため、上記の乗数はです。 $2$

したがって、密度はによって与えられ、簡単には評価されません。 $U$ $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

今、私はのみ作業できる証明があるかどうか知りたいと思っていますが通常であることを示すためにを考慮する必要はありません。のCDFを見つけることは、現時点ではそれほど有望ではありません。ケースについても同じようにしたいと思います。 $U$ $V$ $U$ $U$ $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

つまり、とが独立した変数である場合、変数の変更を使用せずに。どういうわけかと主張できれば、です。ここで2つの質問、一般的なケースと特定のケースです。 $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z\stackrel{d}{=}X$

ことを考えると IIDれる、ショーそのはiid $X,Y$ $N(0,1)$ $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $N(0,\frac{1}{4})$ です。

編集。

この問題は、実際には、Fellerによる「確率論とその応用入門（第II巻）」の演習で考えられたヒントとともに、L。シェップによるものです。

確かに、との密度が手元にあります。 $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$ $\frac{1}{X^2}$

今何ができるか見てみましょう。これとは別に、上記の統合に関する少しの助けも歓迎します。

— 頑固な原子
ソース

同様ですが、ジョイントのMGFアプローチは少し簡単です。：最後の答えを参照してください math.stackexchange.com/a/2665178/22064 ：と math.stackexchange.com/questions/2664469/...を

(U, V)

$(U,V)$

— アレックスR.

@AlexR。はい、私は結合mgfアプローチを見ました。これは、等分散の場合の結合分布を見つける場合に非常にうまく機能します。しかし、私はすでにその場合の変数の変更による証明を持っているので、私の方が簡単です。私がやろうとしているのは、だけで作業することです。

U

$U$

— StubbornAtom 2018年

トリックは、スケーリングされた逆カイ2乗分布であるとの合計も、スケーリングされた逆カイ2乗分布（つまり、安定した分布の特性）。したがって、魔法は次の3番目の方程式で発生します

\frac{1}{X^{2}}

$\frac{1}{X^2}$

\frac{1}{Y^{2}}

$\frac{1}{Y^2}$

U = \frac{X Y}{X^{2} + Y^{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^{2}} + \frac{1}{Y^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^{2}}}} = Z

$U = \frac{XY}{X^2+Y^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^2}}} = Z$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeteringsどうやらそれはシェップによって与えられた元の証明です。

— StubbornAtom

あなたがシェップの解説に言及していなかったら、私はこれを自分で思いつくことはなかっただろう。しかし、私はあなたがこの証明を得られなかったという考えを持っていました。または、少なくともこれが事実であるかどうかは不明でした。

— Sextus Empiricus

回答:

シェップによる問題の最初の解決策は、現在のところ私には少し進んでいるように見える安定した法的性質の概念を使用しています。そのため、投稿で引用した演習で与えられたヒントを理解することができませんでした。単一の変数のみを含み、変数の変更を使用しないという証明は考え出すのが難しいと思います。そこで、問題の代替ソリューションを提供する3つのオープンアクセスペーパーを共有します。 $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

最初の1つは、の密度を導出するために変数を選択したときに取った積分経路をたどらないことを私に確信させました。それは私がフォローできるもののように見える3番目の論文です。ここに証明の簡単なスケッチを示します。 $V$ $U$

一般性を失うことなくと仮定し、ます。とは独立していることに注意してください、の結合密度があります。これをと表します。 $\sigma_1^2=1$ $\sigma_2^2=\sigma^2$ $X^2\sim\chi^2_1$ $\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$ $(X^2,Y^2)$ $f_{X^2,Y^2}$

およびとなるような変換を考え。したがって、結合密度があります。それを示しましょう。標準的な手順に従って、 wrtをに、限界密度を取得し。 $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ $W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ $Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$ $(W,Z)$ $f_{W,Z}$ $f_{W,Z}$ $z$ $f_W$ $W$

我々はそれを見つけるパラメータであるガンマ変量であるおよび、その結果。の密度はについて対称であることに注意してください。これは、、つまり。 $W=U^2$ $\frac{1}{2}$ $2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$ $U$ $0$ $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$ $U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

— 頑固な原子
ソース

これによれば

2つの通常の確率変数の変換

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$
$X$ $Y$ $\Leftrightarrow$ $\theta$ $r$

$\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$ $f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$ $z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

他の人も同様です。

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

表示できるように：

$X= \sigma r \cos(\theta)$ $Y=\sigma r \sin(\theta)$

そう

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

独立を示す

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$

— マソード
ソース

σ_{X} \neq σ_{Y}

$\sigma_X \neq \sigma_Y$

s q r t (X^{2} + Y^{2})

$sqrt(X^2+Y^2)$