確率変数は通常の数と同じ代数的規則に従いますか？

確率変数の合計に関する最近の質問への私の回答のコメントで、比率分布に関するウィキペディアの記事へのリンクに出くわしました、そしてそこに次の奇妙な主張に気づきました：

通常の数で知られている代数ルールは、確率変数の代数には適用されません。たとえば、積がで比率が場合、と分布が同じであるとは限りません。D = C / A D $C = AB$$D=C/A$$D$$B$

この主張は2007年以降の記事にあります。元々記事を作成し、その元のコンテンツと現在のコンテンツの多くを寄稿した一見評判の高い同じ編集者によって追加され、1979年に出版されたMelvin D.Springerの著書「ランダム変数の代数」に引用されているようです（ただし、同じ段落の後半に表示される引用マーカーが実際にこの主張をカバーすることを意図しているかどうかは、100％明確ではありません）。

明らかに、その主張は私にはナンセンスのように思えます。 ウィキペディアの記事からそれを編集することもできますが、10年以上もそこに挑戦し続けてきたことを考えると、ここで間違っているのは自分ではないことを確認する必要があります。（可能性のある）引用を確認するためのスプリンガーの本を手元に置いていなかったので、私はここの専門家に助けを求めたいと思いました。特に、述べられている主張は実際には2つの部分で構成されているため、私の質問もそうです。

パート1：確率変数は通常の数と同じ代数的規則に従いますか、それとも（ある意味では）従わないのですか？そうでない場合、ルールはどのように異なりますか？それは人が採用する（一般に受け入れられている）形式に依存しますか？

パート2：通常の数値であっても、ときが定義されていないため、が常にに等しいとは限らないことは明らかです。この些細な違いは、とがランダム変数である場合でも、とが等しくならない唯一の方法ですか？特に、次のステートメントは常に（実数値または複素数値）確率変数に当てはまりますか？ BDA=0DBA≠$D = \frac{AB}{A}$$B$$D$$A = 0$$D$$B$

パート3（おまけ）：スプリンガーの本は実際にこれについて何を言っていますか、そしてそこに、上で引用された主張をサポートするために何らかの意味でとらえることができる何かがありますか？私が推測するように、それは実際に主流の数学と統計に関する主張の信頼できる情報源と見なされているのでしょうか？

ランダム変数の代数（ARV）は、通常の数値代数「高校代数」の拡張です。これは、数値が確率1の定数に等しいrvとしてARVに埋め込まれる可能性があるためです。したがって、矛盾はありませんが、数値について何も言わない新しいプロパティである可能性があります。ARVでは、等式は分布の等式であるため、実際には分布の代数です。しかし、確率1のrv定数の場合、これは通常の意味での数値の等価性の拡張です。

Wikipediaの例では、矛盾はなく、と分布が同じである確率変数が2つしかないため、ランダムな変数が多数あるために（おそらく誰かが）驚くべき可能性しかありません。このプロパティを持つ数値、および1。コーシー分布にはこのプロパティがありますとその逆が同じ分布を持つような確率変数分布についてはどうでしょうか。。 $X$$X^{-1}$$-1$X X 1 / X$X$$X$$1/X$