ガウス比分布：およびの基礎となるデリバティブ

平均と、分散と 2つの独立した正規分布とます。$X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

それらの比率の分布に興味があります。どちらやので、ゼロの平均値を有し、Zはコーシーとして配布されていません。$Z=X/Y$$X$$Y$$Z$

ZのCDFを見つけて$Z$から、$\mu_x$、$\mu_y$、$\sigma^2_x$および\ sigma ^ 2_yに関するCDFの導関数を取得する必要があります$\sigma^2_y$。

これらがすでに計算されている論文を知っている人はいますか？または、これを自分で行う方法は？

1969年の論文でCDFの式を見つけましたが、これらの派生物を取得することは間違いなく大きな苦痛です。誰かがすでにそれを行っているか、簡単に行う方法を知っているのでしょうか？私は主にこれらのデリバティブの兆候を知る必要があります。

このペーパーには、$Y$がほとんど正の場合の分析的に単純な近似も含まれています。私はその制限を持つことはできません。ただし、パラメータ範囲外であっても、近似値は真の導関数と同じ符号を持つ可能性がありますか？

関連論文：

Wiki： ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

ライセンスがある場合はMathematicaのようなシンボリックな数学パッケージを、そうでない場合はSageを使用することを検討してください。

数値計算を行うだけの場合は、数値の微分を考慮することもできます。

退屈ですが、それはまっすぐに見えます。つまり、関連するすべての関数は、簡単に導関数を計算できます。数値微分を使用して結果が正しいかどうかを確認してください。

$\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}