3Dジョイント分布を2Dマージナルで再構築できますか？

p（x、y）、p（x、z）およびp（y、z）を知っていると仮定すると、結合分布p（x、y、z）が識別可能であるというのは本当ですか？つまり、限界を超えるp（x、y、z）は1つだけですか？

distributions mathematical-statistics

— user1466742
ソース

関連：結合分布がガウスではないガウス確率変数のペアを持つことは可能ですか？（その1次元の周辺分布対2Dジョイントに関連するが、答え＆直感が最終的に同じである、プラス枢機卿の答え@での写真が美しいです。）

— GUNG -復活モニカ

@gung関係はやや離れています。この質問の背後にある微妙な点は、コピュラが与えられた限界値を持つ二変量分布を作成する方法を示しているという考えです。しかし、3変量分布に対して3つの2変量周辺を指定する場合、その3変量分布にはかなり厳しい追加の制約が必要です。単変量周辺は一貫している必要があります。問題は、これらの制約が三変量分布を特定するのに十分かどうかです。これにより、本質的に2次元以上の質問になります。

— whuber

@ whuber、2Dの限界は1Dの限界よりも制約があると言っていることを理解しています。これは合理的です。私のポイントは、どちらの答えでも、周辺は共同分布を十分に制約できないということであり、そこでの枢機inalの答えは問題を非常に見やすくするということです。これが気を散らすものであると思われる場合は、これらのコメントを削除できます。

— GUNG -復活モニカ

@gung私はまったく違うことを言おうとしていますが、それは見やすいものではありません（3Dビジュアライゼーションが得意でない場合）。ホフスタッターのゴッデル、エッシャー、バッハの表紙画像を覚えていますか？（Googlingで簡単に見つかります。答えを拡張して含めることもできます。）座標軸上に同じ投影セットを持つ2つの異なるソリッドの存在は、驚くべきことです。これは、3Dオブジェクトの直交2D「ビュー」の完全なセットが必ずしもオブジェクトを決定するとは限らないという考えを捉えています。それが問題の核心です。

— whuber

@Gungを使用すると、もう一度試すことができます。はい、限界は分布を完全に決定しないという考えは、両方のケースに共通しています。この1つの複雑さ-私はそれを他と非常に異なっていると信じています-現在の状況の限界は決して独立ではありません：各2D限界は2つの1D限界とそれらの間の強い関係を決定します限界。概念的には、それから、この質問は「なぜでないとして書き直すかもしれない依存関係をフル3Dの分布を決定するという意味での2Dの周辺分布『推移』または『累積』に？」

— whuber

回答:

特許おそらく最も単純な反例懸念の分布は、3つの独立したの変数は、よりためのすべての8つの可能な結果 $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ を介してに等しく可能性があります。これは、上の4つのすべての周辺分布が均一になり $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ 。 $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

ランダム変数考える均一セットに分布している。これらは $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ 。 $(X_1,X_2,X_3)$

ダグラス・ホフスタッターのゴッデル、エッシャー、バッハの表紙は、可能性を示唆しています。

これらの各ソリッドの座標平面への3つの直交投影（影）は同じですが、ソリッドは明らかに異なります。影は周辺分布とまったく同じものではありませんが、影を投影する3Dオブジェクトを完全に決定するのではなく、制限するためにかなり似た方法で機能します。

— ウーバー
ソース

もちろん+1ですが、正しく覚えていれば

はバーンスタインに戻ります。入力が1で出力が1のイベントがペアごとに独立したイベント（入力が0または1に等しくなる可能性が高い）が排他的OR論理ゲートを議論するために過去に広く使用しましたが、それらは相互に独立していませんイベント

Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

— ディリップサーワテ

whuberの答えと同じ精神で、

共同連続確率変数検討ジョイント密度関数と $U, V, W$ はここで、は標準の標準密度関数を示します）。

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

$U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ はペアワイズ独立ですが、相互独立ではない標準正規確率変数の例です。詳細については、私の答えをご覧ください。

$X,Y,Z$

\begin{matrix} （2） & f_{バツ 、 Y 、 Z} （ あなたは 、 v 、 w ） = ϕ （ あなたは ） ϕ （ v ） ϕ （ w ） 、 あなたは 、 v 、 w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$

(1)

$(1)$

— ディリップ・サルワテ
ソース

基本的に、3つの主軸に沿った画像のみを使用してCAT再構築が可能かどうかを尋ねています。

そうではありません...そうでなければ、彼らはそうするでしょう。:-)詳細については、ラドン変換を参照してください。

— user541686
ソース

アナロジーが好きです。ただし、2つの側面に問題があります。1つはロジックです。Radon変換（または他の手法）が3つの周辺よりも多くのデータを使用するからといって、それらすべてのデータが実際に必要であることを論理的に意味するわけではありません。もう1つの問題は、CTスキャンが本質的に2次元であることです。つまり、スライスごとに固体を再構成します。（ラドン変換が3次元以上で定義されているのは事実です。）したがって、それらは問題の核心には至りません。2次元分布を再構築するには、単変量の辺縁だけでは十分でないことが既にわかっています。

— whuber

@whuber：あなたは私が言っていたことを誤解したと思います...そして2D対3Dは赤いニシンです。私は、ラドン変換の逆関数がその反転に完全な積分を必要とすることを言おうとしていました（つまり、文字通り反転式を見ると、反転にはd角の合計ではなく、すべての角度の積分が必要です）。CATスキャンは、OPがそれがCTと同じ問題であることを確認できるようにするためのものです。

— user541686

それが論理が壊れるところです：それはCTと同じ問題ではありません。あなたの議論は、「私が道路上で見るすべての車両が少なくとも4つの車輪を使用しているため、類似しているように聞こえます。したがって、4輪未満の地上輸送は不可能です。これを疑う場合は、車の青写真を見てください。」ちなみに、CTスキャナーに実装されている変換は、すべての角度にわたって統合されるわけではありません。使用する角度のセットの測定値はゼロです。

— whuber

@whuber：CTのことはしばらく忘れてください。残りのロジックに同意しますか？

— user541686