確率測度間のラドン-ニコディム微分の解釈？

私はいくつかの点で見た別のに対して一方確率測度のラドンNikodym誘導体の使用、最も顕著には、それはいくつかの任意のパラメータのモデルの確率測度の誘導体であるカルバック・ライブラー情報量、におけると実際のパラメータに関して： $\theta$ $\theta_0$

\frac{d P_{θ}}{d P_{θ_{0}}}

$\frac {dP_\theta}{dP_{\theta_0}}$

：これらは、パラメータ値を条件とデータポイントのスペースの両方の確率測度である場合。 $P_\theta(D)=P(D|\theta)$

カルバックライブラーダイバージェンス、またはより一般的には2つの確率測度の間のそのようなラドンニコディム導関数の解釈は何ですか？

— ユーザー56834
ソース

まず、私たちは確率測度、必要ありません -finitenessを。だから、聞かせて、測定空間とするとしましょうとことの-finite措置。 $\sigma$ $\mathcal M = (\Omega, \mathscr F)$ $\mu$ $\nu$ $\sigma$ $\mathcal M$

ラドン=ニコディムの定理の状態と、その $\mu(A) = 0 \implies \nu(A) = 0$ $A \in \mathscr F$ $\mu \gg \nu$ $f$

ν (A) = \int_{A} f d μ

$\nu(A) = \int_A f \,\text d\mu$

A \in F

$A \in \mathscr F$

$\mathcal M$ $\mu \sim \nu$ $\mu(A) = 0 \iff \nu(A) = 0$ $\mu$ $\nu$ $f, g :\mathbb R \to \mathbb R$ $f(x) = 0 \iff g(x) = 0$

h (x) = {\begin{cases} f (x) / g (x) & g (x) \neq 0 \\ π^{e} & o.w. \end{cases}

$h(x) = \begin{cases} f(x) / g(x) & g(x) \neq 0 \\ \pi^e & \text{o.w.}\end{cases}$

g

$g$

g h = f

$gh = f$

g

$g$

g h = 0 \cdot π^{e} = 0 = f

$gh = 0 \cdot \pi^e = 0 = f$

f

$f$

g

$g$

h

$h$

g

$g$

f

$f$

0 / 0

$0/0$

g = 0

$g = 0$

h

$h$

π^{e}

$\pi^e$

h^{'}

$h'$

g / f

$g / f$

f h^{'} = g

$fh' = g$

$g(x) = 0 \implies f(x) = 0$ $h$ $h'$ $0$ $g$ $f$ $gh = f$ $0$

$\mu$ $\nu$ $f$ $\mu \sim \nu$ $\mu \gg \nu$

$0/0$ $0$ $A$ $\mu(A) = 0$ $1$ $0/0$ $0/0$ $0$ $\mu$ そのため、RNDを何にも影響を与えずにRNDを定義することができます。

$k \cdot \mu = \nu$ $k > 0$

ν (A) = \int_{A} d ν = \int_{A} k d μ

$\nu(A) = \int_A \,\text d\nu = \int_A k \,\text d \mu$

f (x) = k = \frac{d ν}{d μ}

$f(x) = k = \frac{\text d\nu}{\text d\mu}$

$0$ $f(x) = \varphi(x) + 1_{\mathbb Q}(x)$ $1$ $X$

P (X \in A) = \int_{A} (φ + 1_{Q}) d λ

$P(X \in A) = \int_A \left(\varphi + 1_{\mathbb Q}\right) \,\text d\lambda$

= \int_{A} φ d λ + λ (Q) = \int_{A} φ d λ

$= \int_A \varphi \,\text d\lambda + \lambda\left(\mathbb Q \right) =\int_A \varphi \,\text d\lambda$

X

$X$

X

$X$

Q

$\mathbb Q$

0

$0$

λ

$\lambda$

$X \sim \text{Pois}(\eta)$ $Y \sim \text{Bin}(n, p)$ $P_X$ $P_Y$ $c$ $c$ $c(A) = 0 \iff A = \emptyset$

\frac{d P_{Y}}{d P_{X}} = \frac{d P_{Y} / d c}{d P_{X} / d c} = \frac{f_{Y}}{f_{X}}

$\frac{\text dP_Y}{\text dP_X} = \frac{\text dP_Y / \text dc}{\text dP_X / \text dc} = \frac{f_Y}{f_X}$

P_{Y} (A) = \int_{A} d P_{Y}

$P_Y(A) = \int_A \,\text dP_Y$

= \int_{A} \frac{d P_{Y}}{d P_{X}} d P_{X} = \int_{A} \frac{d P_{Y}}{d P_{X}} \frac{d P_{X}}{d c} d c

$= \int_A \frac{\text dP_Y}{\text dP_X}\,\text dP_X = \int_A \frac{\text dP_Y}{\text dP_X}\frac{\text dP_X}{\text dc}\,\text dc$

= \sum_{y \in A} \frac{d P_{Y}}{d P_{X}} (y) \frac{d P_{X}}{d c} (y) = \sum_{y \in A} \frac{f_{Y} (y)}{f_{X} (y)} f_{X} (y) = \sum_{y \in A} f_{Y} (y) .

$= \sum_{y \in A} \frac{\text dP_Y}{\text dP_X}(y)\frac{\text dP_X}{\text dc}(y) = \sum_{y \in A} \frac{f_Y(y)}{f_X(y)}f_X(y) = \sum_{y \in A} f_Y(y).$

$P(X = n) > 0$ $n$ $Y$

$P \ll Q$ $\mu$ $\frac{\text dP}{\text dQ} = \frac{\text dP / \text d\mu}{\text dQ / \text d\mu} := p / q$

— jld
ソース

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@whuberはコメントに感謝します。私はそれを解決するために更新しようとしました

— jld