ラムダ-指数対ポアソン解釈

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私は、ポアソン分布と指数分布の両方におけるの役割と、確率を見つけるためにそれがどのように使用されるかを理解しようとしています（そうです、このトピックに関する他の投稿を読んだのですが、私にはまったく役に立ちませんでした）。 $\lambda$

私が理解していること（私は思う）は：

ポアソン分布-
- 個別の
- $\lambda$ 時間または空間の単位あたりの成功の平均数として定義されます（ただし、「問題のコンテキスト」で「成功」が定義されます）
- PMF： $~~P(X = k;\lambda) = \frac{ \lambda^ke^{-\lambda} }{k!}$
- $P(X\leq k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k)$
- $P(X< k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k~-~1)$
- $P(X\geq k) = 1~-~P(X<k)$
- $P(X > k) = 1~-~P(X\leq k)$
指数分布-
- 継続的
- $\lambda$ は、ポアソン分布に従うイベント（成功）間の平均時間/空間として定義されます
- 私の理解が薄れ始めるところ：
- PDF： $~~f(x; \lambda)~=~ \lambda e^{-\lambda x}$
- CDF： $P(X \leq k; \lambda)~=~1~-~e^{-\lambda x}$
- $P(X > k; \lambda) ~=~ 1 ~-~P(X \leq k; \lambda)~=~e^{-\lambda x}$

私が誤解していると思うところ：

今のところ、私は仮定しています $\lambda$ 2つのディストリビューション間で交換できます。これは事実ですか？「再パラメーター化」について簡単に読みましたが、それが鍵になると思いますが、そのプロセスが何を指しているのかわかりません。これを行う方法と、指数分布のPMFとCDFにどのように影響しますか？

これはすべて、問う問題から来ました。ラムダ= 3の指数分布に従う確率変数Xが与えられた場合、P（X> 8）を見つけます。私のアプローチは $e^{-3*8}$ 、確率が低すぎるように見えます。

self-study poisson-distribution exponential-distribution

— マーシャル・マックイレン
ソース

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停留所でバスを待っているとします。また、バスは通常10分おきに停車地に到着するとします。ここで、λを1分あたりのバスの到着率と定義します。したがって、λ=（1/10）。

次の1分間にバスが到着しない確率を計算します。ポアソン分布と指数分布の両方を使用してそれを行うことができます。

ポアソン

λ= 1/10

次の1分間に0の到着確率：P（X = 0）= 0.9048

指数関数的

λ= 1/10

1分以上待たなければならない確率：P（X> 1）= 0.9048

注：両方の分布の期待値を確認してください。ポアソンの場合、1分あたりに到着するバスの平均数E（X）=λ= 0.10バスであることがわかります。指数関数の場合、バスが到着するまでの平均待機時間E（X）=（1 /λ）= 10分

— モヒト・トゥテハ
ソース

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これらの分布の両方が同じパラメーターを使用するという事実は、おそらく表記法の慣習に起因する偶然です。結局のところ、ランダム変数の1つは離散的で、もう1つは連続的です。彼らは決してまったく同じものをモデル化すべきではありません。

ただし、偶然ではない場合もあります。これらのパラメーターが同様のことを意味し、同じモデリングタスクでこれらの分布のいずれかを使用できる1つの例は、ポアソンプロセスを使用している場合です。これは、時間内にランダムに到着するものをモデリングしている状況で役立ちます（たとえば、携帯電話でテキストを受信している場合）。時間に測定を開始するとします $0$ 。いつでも修正 $t > 0$ 、この時間までに受け取った合計を呼び出すことができます $N_t$ そして仮定する

N_{t} \sim Poisson (λ t);

$N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t);$

λ

$\lambda$ これは、単位時間あたりの呼び出しで測定されたレートです。

テキスト間の待機時間も確認できます $X_1, X_2, \ldots$ と仮定します

X_{i} \overset{i i d}{\sim} Exponential (λ);

$X_i \overset{iid}{\sim} \text{Exponential}(\lambda);$ ここに

λ

$\lambda$ 率でもあります（この質問のように密度を記述している場合）。各テキストメッセージの到着時間は部分合計です

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ 。

この特定の状況でのこれら2つの分布の関係は次のとおりです。 $n$ 、そして時間 $t$ 、

P (S_{n} \leq t) = P (N_{t} \geq n) .

$P(S_n \le t) = P(N_t \ge n).$ 特別な場合

n = t = 1

$n = t = 1$ 、これらの式は両方とも

1 - e^{- λ}

$1 - e^{-\lambda}$ 。

— テイラー
ソース

そうすることができます

λ

$\lambda$ 2つのディストリビューション間で交換できますか？私が尋ねる理由は、このソースから、次のような命題があるためです。

λ

$\lambda$ イベントが2回連続して発生するまでの経過時間がパラメーター付きの指数分布である場合

λ

$\lambda$ 以前の出来事から独立している」

λ

$\lambda$ 2つの方程式の間。

— Marshall McQuillen、2018年

@MarshallMcQuillenこれは私が答えたものです。ポアソンプロセスの場合、ラムダを「交換」することはできませんが、2つの確率変数は異なる確率の公式を共有します

— Taylor

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ラムダは、特定のコンテキストで交換可能です。ガイガーカウンターで放射能を測定しているとしましょう。ある場合には $\lambda=2$ 平均で毎秒2回のクリックが発生し、クリック間の平均時間は $1/2$ 秒。1秒あたりのクリック数はポアソン分布からのものであり、クリック間の時間は指数分布からのものです。 $\lambda=2$ 。

— アクサカル
ソース

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ウィキペディアからこれは簡単な方法で関係を要約していますか？

すべてのt> 0について、時間間隔[0、t]の到着数が平均λtのポアソン分布に従う場合、到着時間のシーケンスは独立しており、平均1 /λを持つ同一分布の指数確率変数です。

参照：SM Ross（2007）。確率モデルの紹介（第9版）。ボストン：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-598062-3。307〜308ページ。

— マット・ウェナム
ソース

1

テイラーの回答で述べたように、ポアソンプロセスでこれらに関連する特定の確率ステートメントの同等性を通じて、指数分布とポアソン分布の間には関係があります。数学的には、この等価性は不完全ガンマ関数の反復特性に由来し、問題の確率的等価性を示すために使用できます。

ポアソンプロセスでは、特定の速度で発生するイベントがあります。 $\lambda > 0$ また、イベント間の時間、または特定の時間内のイベント数のいずれかを確認することで、プロセスを分析できます。前者を行うには、 $X_1, X_2, X_3, ... \sim \text{IID Exp} (\lambda)$ プロセス内のイベント間の時間であり、部分的な合計を定義する $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$ 、最初にかかった時間を表します $n$ イベント。次に、 $S_n \sim \text{Ga} (n, \lambda)$ そのため：

\begin{aligned} P (S_{n} ⩽ t) = 1 - P (S_{n} > t) & = 1 - \int_{t}^{\infty} Ga (s | n, λ) d s \\ = 1 - \frac{λ^{n}}{Γ (n)} \int_{t}^{\infty} s^{n - 1} \exp (- λ s) d s \\ = 1 - \frac{1}{Γ (n)} \int_{t}^{\infty} (λ s)^{n - 1} \exp (- λ s) λ d s \\ = 1 - \frac{1}{Γ (n)} \int_{λ t}^{\infty} r^{n - 1} \exp (- r) d r \\ = 1 - \frac{Γ (n, λ t)}{Γ (n)} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) = 1 - \mathbb{P}(S_n >t) &= 1 - \int\limits_t^{\infty} \text{Ga} (s|n, \lambda) ds \\ &= 1-\frac{\lambda^n}{\Gamma (n) } \int\limits_t^{\infty} s^{n-1} \exp (- \lambda s) ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_t^{\infty} (\lambda s) ^{n-1} \exp (- \lambda s) \lambda ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_{\lambda t}^{\infty} r^{n-1} \exp \left( - r \right) dr \\ &= 1-\frac{\Gamma(n, \lambda t)}{\Gamma (n)}. \\ \end{aligned} \end{equation}$

パーツによる統合を使用すると、上部の不完全なガンマ関数は反復に従います。

\begin{matrix} Γ (n, x) = (n - 1) Γ (n - 1, x) + x^{n - 1} \exp (- x) & Γ (1, x) = \exp (- x) . \end{matrix}

$\begin{matrix} \Gamma (n, x) = (n-1) \Gamma(n-1, x) + x^{n-1} \exp (-x) & & \Gamma (1, x) = \exp(-x). \end{matrix}$

整数の場合 $n$ 、この繰り返しを繰り返し適用すると、次のようになります。

Γ (n, x) = Γ (n) \exp (- x) \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{x^{k}}{k!} .

$\Gamma (n, x) = \Gamma (n) \exp (-x) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}.$

だから、 $N_t \sim \text{Pois} (\lambda t)$ 我々は持っています：

\begin{aligned} P (S_{n} ⩽ t) & = 1 - \exp (- λ t) \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(λ t)^{k}}{k!} \\ = 1 - \sum_{k = 0}^{n - 1} Pois (k | λ t) \\ = \sum_{k = n}^{\infty} Pois (k | λ t) \\ = P (N_{t} ⩾ n) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) &= 1- \exp (-\lambda t) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \\ &= 1 - \sum_{k=0}^{n-1} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \sum_{k=n}^{\infty} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \mathbb{P} (N_t \geqslant n). \end{aligned} \end{equation}$

これにより、ポアソンプロセスの基本的な直感的な結果が得られます。最初にかかった時間が $n$ イベントは以下です $t$ 次に、その時点で発生したイベントの数 $t$ 少なくとも $n$ 。イベント間の時間が指数分布に従う場合、特定の時間のイベント数はポアソン分布に従います。

— ベン-モニカの復活
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