ポアソンと指数分布の関係

ポアソン分布の待機時間は、パラメーターlambdaの指数分布です。しかし、私はそれを理解していません。ポアソンは、たとえば単位時間あたりの到着数をモデル化します。これは指数分布とどのように関係していますか？時間単位でのk個の到着の確率はP（k）（ポアソンでモデル化）、k + 1の確率はP（k + 1）であるとしましょう。指数分布はそれらの間の待ち時間をどのようにモデル化しますか？

次の表記を使用して、wikiと可能な限り一貫性を持たせます（私の回答とポアソンおよび指数の wiki定義の間を行き来したい場合）。

$N_t$：期間間の到着数$t$

$X_t$：誰かが時刻に到着したと仮定して、さらに1回到着するのにかかる時間$t$

定義により、次の条件は同等です。

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

左側のイベントは、時間間隔誰も到着していないというイベントをキャプチャしますこれは、時刻での到着数のカウントが時刻でのカウントと同一であることを意味します。右側のイベント。$[t,t+x]$$t+x$$t$

補数規則により、次のものもあります。

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

上記で説明した2つのイベントの等価性を使用して、上記を次のように書き換えることができます。

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

しかし、

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

上記のポアソンpmfを使用します。ここで、は時間単位あたりの平均到着数、は時間単位の量です。$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

すなわち

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

元のeqnを代入すると、次のようになります。

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

上記は指数pdfのcdfです。

ポアソンプロセスの場合、ヒットは過去とは無関係にランダムに発生しますが、時間単位あたりのヒットの既知の長期平均レートあります。ポアソン分布により、特定のヒット数が得られる確率を見つけることができます。$\lambda$

ここで、ヒット数を調べる代わりに、ランダム変数（Lifetimeの場合）、つまり最初のヒットを待つ必要がある時間を調べます。$L$

待機時間が所定の時間値を超える確率は、 （ポアソン分布による、ここで）。$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$（累積分布関数）。これの導関数を取得することで密度関数を取得できます。

このような密度関数を持つランダム変数は、指数分布していると言われています。

他の答えは、数学を説明する上で良い仕事をします。物理的な例を検討するのに役立つと思います。ポアソンのプロセスについて考えるとき、私はいつも車が道路を通過するという考えに戻ります。ラムダは、単位時間あたりに通過する車の平均数で、たとえば60 /時間（ラムダ= 60）です。ただし、実際の数は変化することを知っています-数日長く、数日短くなります。ポアソン分布により、この変動をモデル化できます。

現在、1時間あたり平均60台の車が1分あたり平均1台の車が通過することに相当します。繰り返しになりますが、到着間の時間にはばらつきがあることがわかっています。1分以上の場合もあります。他の回より少ない。指数分布により、この変動をモデル化できます。

そうは言っても、道路を通過する車は常にポアソンプロセスに従うとは限りません。たとえば、角を曲がったところに信号機がある場合、到着は安定した状態ではなくまとまります。開いた高速道路では、遅いトラクタートレーラーが長い列の車を保持し、再びバンチングを引き起こす可能性があります。これらの場合、ポアソン分布はより長い期間でも問題なく機能する可能性がありますが、指数関数は到着時間のモデル化でひどく失敗します。

また、時刻に基づいて大きなばらつきがあることに注意してください。通勤時間中は忙しいです。午前3時にずっと遅くなります。検討している特定の期間をラムダが反映していることを確認してください。

ポアソン分布は通常、二項分布（両方とも離散）から派生します。これはWikiにあります。

ただし、ポアソン分布（離散）は、指数分布（連続）から導出することもできます。

Wikiに証拠を追加しました（以下のリンク）：

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution