標準偏差の三角演算

通常のランダム変数の加算、減算、乗算、除算は明確に定義されていますが、三角演算はどうですか？

たとえば、両方とも正規分布として記述された寸法 $d_1$ およびを持つ2つのカテテリーを持つ三角形のくさび（直角三角形としてモデル化された）の角度を見つけようとしていると仮定します $d_2$ 。

直観とシミュレーションの両方から、結果の分布は平均 $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$ 。しかし、結果の角度の分布を計算する方法はありますか？私が答えを見つける場所の参照

（少しのコンテキストでは、機械部品の統計的公差に取り組んでいます。最初の衝動は、プロセス全体を単純にシミュレートし、最終結果が合理的に正常かどうかを確認し、標準偏差を計算することです。きちんとした分析的アプローチがあるかもしれない場合）

— ボッシケナ
ソース

（a）d1とd2が辺の長さ（角度ではない）であることを確認してください。（b）それらの間の角度が直角であると仮定している（そうでない場合は、atan式が疑わしい）; （c）この直角三角形の他の角度の1つの分布に関心があることまた、三角形には負の辺の長さのかなりの確率がないはずなので、各長さ分布のSDは予想よりもはるかに小さくなります:-)。

— whuber

その通り。私は問題を少し明確にするために言い直しました。はい、SDは寸法に比べて小さくなります。

— ボッシケナ

乗算と加算の式を使用して、テイラー展開を試すことができます。

優れた答えの両方に感謝します（私の限られた統計の専門知識でわかる限り）は、直感的で健全です。

— ボッシケナ

回答:

この解釈では、三角形は、長辺の直角三角形であり、及び期待にbinormally分散及び、標準偏差及び、及び相関。の分布を探します。このために、と標準化して、 $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

及び

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

との相関を持つ標準正規変量。してみましょう角度やコンビニエンス書き込みのためにも。それから $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

左手側は、法線の線形結合である、と、正常である平均及び分散。 $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

これらのパラメーターのNormal cdfをで微分すると、角度のpdfが得られます。表現はかなり不気味ですが、その重要な部分は指数関数です $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

角度が正規分布していないことをすぐに示します。ただし、シミュレーションが示すように、直観が示唆するように、辺の長さの変動が長さ自体に比べて小さい場合、ほぼ正常なはずです。この場合Saddlepoint近似は、特定の値のための良好な結果をもたらすべき、、、、及び閉形式の一般的な解決策が利用できない場合でも、。おおよその標準偏差は、2次導関数（に関して） $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ）pdfの対数の（参考文献の式（2.6）および（3.1）に示すように）。これを実行するには、コンピューター代数システム（MatLabやMathematicaなど）をお勧めします！

— ウーバー
ソース

正常に配布される可能性はありませんでした。角度です！それだけで値をとります

。

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— ロビーマッキリアム

P（Y / X

Q）= P（Y

Xが正常RVある場合QX）が正しくない- Xができすぎる負です。

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— ロナフ

@ronaf：実際には、

と

は物理的な三角形の辺の長さなので、負の

があってはなりません！

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— みすぼらしいシェフ

@ronaf：それは正しい考えです。いずれかを使用し、側面の長さに署名し、また（むしろその値モジュロより実際の値と角度を考慮した場合は

）、いずれの場合に正常とは矛盾がありません。不平等が間違っている可能性についてのあなたの主張は素晴らしいです。これに対応してできることは、XまたはYが負になる可能性が無視できるため、式が仮定の下で優れた近似であると主張することだけです。

2 π

$2\pi$

— whuber

@YBE私は、式の最後の「+」が属していないように見えることに同意します。TeXマークアップをクリーンアップするときにそれが入り込んでいた可能性があります。微分を自分で計算したため、参照はありません。

— whuber

循環統計、特に投影正規分布と呼ばれる循環分布を見ています。

何らかの理由でこのトピックをグーグルで検索するのは少し難しいかもしれませんが、循環統計に関する2つの主要なテキストは、フィッシャーによる循環データの統計分析とマルディアとジュップによる方向統計です。

予測される正規分布の徹底的な分析については、Mardia and Juppの46ページを参照してください。分布には閉じた形式の式（誤差関数の積分まで）があり、whuberが示唆したように、その「分散」（ここで注意してください、分散は円上のランダム変数にとって何を意味するのですか？！）は小さい。つまり、分布が1点（または方向または角度）に非常に集中している場合。

— ロビー・マッキリアム
ソース