簡単の証明

ましょうの独立した標準正規確率変数です。そこには多くの（長い）証明があり、 $Z_1,\cdots,Z_n$

\sum_{i = 1}^{n} {(Z_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Z_{j})}^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^n \left(Z_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j \right)^2 \sim \chi^2_{n-1}$

多くの証明はかなり長く、それらのいくつかは帰納法を使用します（例えば、Casella Statistical Inference）。この結果を簡単に証明できるかどうか疑問に思っています。

mathematical-statistics sampling

— 3x89g2
ソース

直観的な幾何学的（座標なし）アプローチについては、著者が実際に従来の方法を比較した、優れたテキストであるMichael J. Wichuraによる線形モデルへの座標なしアプローチ（技術的な詳細は定理8.2に記入）のセクション1.2を参照してください。行列の証明（whuberの回答により提供）と彼の投影アプローチは、彼の幾何学的アプローチがより自然で曖昧さが少ないことを示しています。個人的には、この証明は洞察に満ちた簡潔なものだと思います。

— Zhanxiong

回答:

以下のための、定義 $k=1, 2, \ldots, n-1$

X_{k} = (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{k} - k Z_{k + 1}) / \sqrt{k + k^{2}} .

$X_k = (Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_k - kZ_{k+1})/\sqrt{k+k^2}.$

multinormally分散ランダム変数の線形変換であり、、また、多変量正規分布を有します。ご了承ください $X_k$ $Z_i$

の分散共分散行列は、単位行列です。 $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $n-1\times n-1$
$X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n-1}^2 = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar Z)^2.$

チェックすることは容易であり、直接意味全ての観察時用いて無相関である計算はすべて事実に降りてくることがあり、もの。 $(1)$ $(2)$ $X_k$ $\bar Z.$ $1+1+\cdots+1 - k = 0$ $k$

こと一緒に、これらのショーの和の分布を有する非相関ユニット分散通常変数。 定義によって、これは分布、QED。 $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2$ $n-1$ $\chi^2(n-1)$

参考文献

の構造がどこから来たかの説明については、ヘルマート行列に関する等尺性対数変換を実行する方法の私の回答の冒頭を参照してください。 $X_k$
$X_k$

— whuber
ソース

Z_{i}

$Z_i$

\bar{Z}

$\overline{Z}$

Z_{i} = \bar{Z} + ϵ_{i}

$Z_i = \overline{Z} + \epsilon_i$

Z

$\mathbf{Z}$

1

$\mathbf{1}$

1

$\mathbf{1}$

X_{i}

$X_i$

χ^{2}

$\chi^2$

X_{i}

$X_i$

\bar{Z}

$\bar Z$

@プログラマー申し訳ありません。私はそれが論理的な演繹であることを示唆するつもりはありませんでした-（1）と（2）は2つの別々の観察です。（2）は（単純な）代数的アイデンティティにすぎません。

— whuber

X_{k}

$X_k$

H

$H$

\sum K_{i}^{2}

$\sum K_i^2$

K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (H Z)^{T} (H Z) = Z^{T} (H^{T} H) Z = Z^{T} I Z = Z \cdot Z

$K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (HZ)^T (HZ) = Z^T (H^TH) Z= Z^T I Z = Z \cdot Z$

$Z_is$ $N(0,1)$ $\mu=0$ $\sigma=1$

$Z_i^2\sim \chi^2_{(1)}$

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z} + \bar{Z})^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + n {\bar{Z}}^{2} \\ (1) & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + {[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{i=1}^n Z_i^2&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z}+\bar{Z})^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+n\bar{Z}^2\\&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \tag{1} \end{align}$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ_{(n)}^{2}

$\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_{(n)}$

{[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \sim χ_{(1)}^{2} .

$\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \sim\chi^2_{(1)}.$

$\operatorname{Cov}(Z_i-\bar Z,\bar Z)=0$ $Z_i-\bar Z$ $\bar Z$ $Z_i-\bar Z$ $Z_i$

M_{n} (t) = M_{n - 1} (t) M_{1} (t)

$M_n(t) = M_{n-1}(t)M_1(t)$

M_{n} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2}

$M_n(t)=(1-2t)^{-n/2}$

M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- 1 / 2}

$M_1(t)=(1-2t)^{-1/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

M_{n - 1} (t) = M_{n} (t) / M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$M_{n-1}(t)=M_n(t)/M_1(t)=(1-2t)^{-(n-1)/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

n - 1

$n-1$

— 深い北
ソース

最後の「そのため」は不注意です

— Zhanxiong

\bar{X}

$\bar{X}$

\bar{X}

$\bar{X}$

\sum Z_{i}^{2}

$\sum Z_i^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

\sum (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum (Z_i - \bar{Z})^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

私はコクランの定理を使用したと思います

— ディープノース

@DeepNorth証拠に欠けている部分がいくつかある場合

— Jarle Tufto