統計モデルと確率モデルの違いは？

応用確率は、計算確率を含む確率の重要な分岐です。統計は確率理論を使用してデータを処理するモデルを構築しているため、私の理解では、統計モデルと確率モデルの本質的な違いは何ですか？確率モデルは実際のデータを必要としませんか？ありがとう。

probability mathematical-statistics

モデル確率トリプレットから成る、サンプル空間で、ある -代数（イベント）とは確率測度です。 $(\Omega,{\mathcal F},{\mathbb P})$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $\sigma$ ${\mathbb P}$ ${\mathcal F}$

直感的な説明。確率モデルは、既知の ランダム変数として解釈できます。例えば、聞かせてであり、通常は、分散、平均のランダム変数を、分散。この場合、確率測度は累積分布関数（CDF）関連付けられます。 $X$ $X$ $0$ $1$ ${\mathbb P}$ $F$

F (x) = P (X \leq x) = P (ω \in Ω : X (ω) \leq x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{t^{2}}{2}) d t .

$F(x)={\mathbb P}(X\leq x) = {\mathbb P}(\omega\in\Omega:X(\omega)\leq x) =\int_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left({-\dfrac{t^2}{2}}\right)dt.$

汎化。確率モデルの定義は、確率の数学的定義に依存します。例えば、自由確率と量子確率を参照してください。

A 統計モデルは、 ある集合これは、確率測度サンプル空間上/分布の集合であり、確率モデルの。 ${\mathcal S}$ $\Omega$

この確率分布のセットは、通常、データのある特定の現象をモデル化するために選択されます。

直感的な説明。統計モデルでは、特定の現象を記述するパラメーターと分布はどちらも不明です。この例は、平均および分散の正規分布のファミリです。これは、両方のパラメーターが不明であり、通常はパラメータを推定するためのデータセット（つまり、要素を選択する）。この分布のセットは、任意のおよびで選択できますが、実際の例では、同じペア定義されたもののみが妥当です。考えてください。 $\mu\in{\mathbb R}$ $\sigma^2\in{\mathbb R_+}$ ${\mathcal S}$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $(\Omega,{\mathcal F})$

汎化。このペーパーは統計モデルの非常に正式な定義を提供しますが、著者は「ベイジアンモデルには事前分布の形で追加のコンポーネントが必要です...ベイジアン定式化はこのペーパーの主な焦点ではありません」と述べています。したがって、統計モデルの定義は、使用するモデルの種類（パラメトリックまたはノンパラメトリック）に依存します。また、パラメトリック設定では、定義はパラメーターの処理方法に依存します（例：クラシックvs.ベイジアン）。

違いがある：確率モデルに、あなたは正確に確率測度を知っている、例えば、知られているパラメータであり、統計モデルにあなたがディストリビューションのセットを考慮しながら。例えば、、未知のパラメータです。 $\mbox{Normal}(\mu_0,\sigma_0^2)$ $\mu_0,\sigma_0^2$ $\mbox{Normal}(\mu,\sigma^2)$ $\mu,\sigma^2$

それらのどれもデータセットを必要としませんが、私は通常、統計モデルがモデル化のために選択されると言うでしょう。

— 西安
ソース

@HonglangWangそれはある程度正しいです。主な違いは、確率モデルはただ1つの（既知の）分布であるのに対して、統計モデルは確率モデルのセットであるということです。データを使用して、このセットからモデルを選択するか、（特定の意味で）現象を（データに照らして）より適切に記述するモデルの小さなサブセットを選択します。

（+1）これはいい答えですが、コメントがいくつかあります。まず、これは確率論者を少し短めに売っていると思う。確率モデルで確率空間のセットを考慮することはまったく珍しいことではなく、実際、可能な尺度はランダムである場合もあります（適切に大きな空間で構築されます）。第二に、ベイジアン（特に）は、ベイジアン統計モデルがしばしば適切な製品空間

上の単一の確率モデルと見なされる可能性があるという点で、この答えを少し混乱させるかもしれません。

Ω \times Θ

$\Omega \times \Theta$

— 枢機

@gungこれは、より測定理論に関連した質問です。最初の質問に関して、

は実際にCDFで定義されています。現在、

の解釈は難しいものです。なぜなら、正式には

P

${\mathbb P}$

Ω

$\Omega$

を意味

、その後、

観察可能な値ではありません。

ある

ボレルのプリイメージである代数

代数下

P (X \leq x)

${\mathbb P}(X\leq x)$

P (ω \in Ω : X (ω) \leq x)

${\mathbb P}(\omega\in\Omega: X(\omega)\leq x)$

Ω

$\Omega$

F

${\mathcal F}$

σ -

$\sigma-$

σ -

$\sigma-$

X

$X$ 繰り返しますが、これは観測できません。これを直感的なレベルで説明する方法がわかりません。

@gung

依存するアプリケーション。それは理論によって決定されません。たとえば、

は金融デリバティブの価格を表すブラウン運動のセットであり、

は固定時間

で得られる値です。別のアプリケーションでは、

は人の集合であり、

は前腕の長さです。一般に、

は研究対象の物理的オブジェクトの数学的モデルであり、

はそれらのオブジェクトの数値的特性です。

は、発生する可能性のあるイベントのセットです。これらの状況は、確率に帰したいものです。

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

X

$X$

t

$t$

Ω

$\Omega$

X

$X$

Ω

$\Omega$

X

$X$

F

$\mathcal{F}$

— whuber

@gung

はシグマ代数であり、サブセット（「イベント」）のコレクションです。財務アプリケーションでは、価格履歴のセットです。前腕測定アプリケーションでは、イベントは人のセットになります。チャットルームで必要な場合は、これについてもっと話します。

F

$\mathcal{F}$

— whuber