Pitman–Koopman–Darmoisの定理の学部レベルの証明

Pitman–Koopman–Darmoisの定理は、確率分布のパラメーター化されたファミリーからのiidサンプルが、スカラーコンポーネントの数がサンプルサイズとともに増加しない十分な統計量を認める場合、指数ファミリーであると述べています。

• 教科書や小説の説明紙に証拠がありますか？
• なぜそれらの3人にちなんで名付けられたのですか？

補題がPitman-Koopman-Darmoisと呼ばれる理由は、驚くことではないが、3人の著者がほぼ同時に独立して補題の同様のバージョンを確立したためです。

• Darmois、G.（1935）Sur les lois deprobabilitéà概算、Comptes Rendus de l'Académiedes Sciences、200、1265-1266。
• Koopman、BO（1936）十分な統計量を認める分布 について、アメリカ数学会のトランザクション、Vol。39、No。3 [リンク]
• ピットマン、EJG（1936）十分な統計と固有の正確さ、Procedings of the Cambridge Philosophical Society、32、567-579。

一次元の結果に従って

• フィッシャー、RA（1934年）数学的尤度の2つの新しいプロパティ、Proceedings of the Royal Society、シリーズA、144、285-307。

私はこの結果の非技術的な証拠を知りません。複雑な引数を含まない1つの証明は、尤度関数が関数値を持つ十分な統計量であるという引数に基づくドンフレイザー（p.13-16）です。しかし、統計は実数（関数値変換）ではなく、サンプル関数である実ベクトルであるため、この議論には異議があると思います。統計の性質を変更することにより、ドンフレイザーは充足性の定義を変更し、それによってダーモイス-コープマン-ピットマンの補題の意味を変更します。$x$