自己共分散が時系列を完全に特徴付けることができるのはなぜですか？

ジョンコクランのマクロ経済と金融に関する時系列を読んだので、

自動共分散は、時系列を完全に特徴付けることができます[同時分布]。

ここでは、共分散と共同分布の関係を完全には理解していません。誰かがそれを説明できますか？

time-series autocorrelation joint-distribution

— 空飛ぶ豚
ソース

私は彼がプロセスがガウスであると仮定するに違いない、そうでしょ？

— whuber

@whuber、はい、彼はARMAモデルを使用して説明し、エラー項を常にホワイトノイズと仮定しています。

— 空飛ぶ豚

ホワイトノイズ自体は、必要な結果を保証するものではありません。ガウスの白色雑音が必要です。

— Dilip Sarwate 2013

定常ガウス過程は、その平均、分散、自己相関関数の組み合わせによって完全に特徴付けられます。あなたがそれを読んだときの声明は真実ではありません。次の追加条件が必要です。

プロセスは定常的です
プロセスはガウスです
平均が指定されています $μ$

次に、確率過程全体がその自己共分散関数（または同等にその分散 +自己相関関数）によって完全に特徴付けられます。 $σ^2$

これは単に、多変量ガウス分布がその平均ベクトルとその共分散関数によって一意に決まるという事実に依存しています。したがって、上で述べたすべての条件をと、時系列の観測値の結合分布は、多変量正規分布を持ち、平均ベクトルは等しい（定常性による）各成分を持ち、各成分の分散は（定常性による）です。また、共分散成分は、自己共分散関数の対応する遅延共分散によって与えられます（自動共分散は、共分散が取得されている2つの観測値間の時間差（またはラグ）にのみ依存するため、再び定常になります）。 $k$ $μ$ $σ^2$

— マイケル・R・チェニック
ソース

（+1）これは条件（1）で暗黙的に言われていると思いますが、が定数であることも必要ですよね？

μ

$\mu$

— マクロ

@マクロはい定常性、弱いセンス（共分散）定常性でも一定の平均と一定の分散が必要です。

— マイケルR.シェニック

@MichaelChernick、それから平均と自己共分散を持つことで、確率過程の共同分布を再現できます（または確率過程自体をシミュレートできます）。

— 空飛ぶ豚

@Flyingpigはい、それが定常ガウス過程である限り、変数の任意のサブセットに対して可能です。AR、MA、またはARMAプロセスである必要はありません。定常的なガウス過程でなければならない。それは驚くべきことではありません。これは、多変量正規分布のよく知られた特性です。

— Michael R.

@マクロ私が与えた必要条件では、条件定数平均は冗長であると思います。確率論的プロセスを完全に特徴付けるためには、平均と分散の値が何であるかを知る必要があり、それらが両方とも一定であるというだけではないので、私はそれを述べました。

— Michael R. Chernick