非中心指数分布の期待される対数値

仮定 $X$ 非中央指数関数的に位置して配布され $k$ 及びレート $\lambda$ 。次に、とは何 $E(\log(X))$ 。

私はのためにことを知っている $k=0$ 、答えは $-\log(\lambda) - \gamma$ どこ $\gamma$ であるオイラーの定数。場合はどう $k > 0$ ですか？

mean expected-value integral

— ニールG
ソース

Mathematicaに統合してみましたか？

私は仮定

k > 0

$k > 0$ （密度は次のように書かれている場合に

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$ そうでなければ、）

x < 0

$x < 0$ ための恐ろしい結果を用いて、確率> 0と

E \log x

$\mathbb{E}\log x$ 。

— jbowman '18 / 06/18

私が得

。Mathematicaはコマンドを使ってパラメータスペースを指定する方が高速です。

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

上部の不完全ガンマ関数は閉じた形としてカウントされますか？（私にとってはそうではありません。）これは、表記法によって整数を非表示にするのに便利です。

— 枢機卿

@NeilGこれはMathematicaコードIntegrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]です。コピーして.nbファイルに貼り付けるだけです。Wolfram Alphaが制限を含めることを許可しているかどうかはわかりません。

望ましい積分は、力ずくの操作によって提出に取り組まれることができます。ここでは、代わりに、もう少し確率的なフレーバーを持つ代替派生を提供しようとします。

LET 位置パラメータを持つ非心指数確率変数でありと速度パラメータ。次いで、ここで、。 $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

なお、ので、使用非負確率変数の期待値を計算するための標準的な事実を、 $\log(X/k) \geq 0$ しかし、上の以降のなど

E ログ （ バツ / k ） = \int_{0}^{\infty} P （ ログ （ バツ / k ） > z ） d z = \int_{0}^{\infty} P （ Z > k （ e^{z} - 1 ） ） d z 。

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

ここで、最後の等式は、置換から次

と指摘、

。

E ログ （ バツ / k ） = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp （ - λ k e^{z} ） d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t 、

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

最後の表示の右側のサイズはわずかであるに積分の定義によるなど $\Gamma(0,\lambda k)$ 質問へのコメントでの@ProcrastinatorのMathematica計算によって確認されたとおり。

E ログ バツ = e^{λ k} Γ （ 0 、 λ k ） + ログ k 、

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB：等価表記 $\mathrm E_1(x)$ もしばしばの代わりに使用される。 $\Gamma(0,x)$

— 枢機卿
ソース

+1 @Michael Chernick誰もが怠惰なわけではないようです;）。

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$