複合対称の場合の（0 + factor | group）および（1 | group）+（1 | group：factor）ランダム効果の仕様の等価性

ダグラス・ベイツは、次のモデルは「ベクトル値のランダム効果の分散共分散行列が複合対称性と呼ばれる特別な形式を持っている場合」と同等であると述べています（このプレゼンテーションのスライド91）。

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

具体的には、Batesは次の例を使用します。

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

対応する出力：

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

誰もがモデル間の違いを説明し、直感的な方法でどのようm1にm2（与えられた複合対称性）を減らすことができますか？

この例では、3台のマシン（A、B、C）と6人のワーカーの各組み合わせに対して3つの観測値があります。私が使用します表すためのn次元単位行列と1つのnを示すために、n個のものの次元ベクトルを。さんが言ってみましょうyが、私はその後、マシンはその後、複製作業員が発注されると仮定することが、観測値のベクトルです。してみましょうμが対応する期待値（例えば固定効果）こと、および聞かせγは、期待値（例えば、ランダム効果）からグループ固有の偏差のベクトルとします。γを条件として、yのモデルは次のように記述できます。$I_n$$n$$1_n$$n$$y$$\mu$$\gamma$$\gamma$$y$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$$

ここで、「残留」分散です。$\sigma^2_y$

ランダム効果の共分散構造が観測間で共分散構造をどのように誘導するかを理解するために、ランダム効果γで積分する同等の「周辺」表現で作業する方がより直感的です。このモデルの限界形式は、$\gamma$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$$

ここで、はγの構造に依存する共分散行列です（たとえば、ランダム効果の根底にある "分散成分"）。Σを「限界」共分散と呼びます。$\Sigma$$\gamma$$\Sigma$

あなたにはm1：、ランダム効果はと分解します

$$\gamma = Z \theta$$

ここで、の観察にランダム係数をマップデザイン行列であり、θ T = [ θ 1 、A、θ 1 、B、θ 1 、C ... θ 6 、A、θ 6 、B、θ 6 、Cは】作業者、機械によって順序付けランダム係数の18次元ベクトルであり、として配布されています。$Z = I_{18} \otimes 1_3$$\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

$$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$$

ここで、はランダム係数の共分散です。前提化合物対称手段Λは私が呼ぶだろうと、2つのパラメータがありσ θ及びτ、および構造：$\Lambda$$\Lambda$$\sigma_\theta$$\tau$

$$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$$

（言い換えると、基礎となる相関行列は、オフダイアゴナル上のすべての要素が同じ値に設定されています。）$\Lambda$

これらのランダム効果によって誘導される限界共分散構造は、与えられた観測の分散であるように、σ 2 θ + τ 2 + σ 2 Y及び2つ（別個の）観測間の共分散ワーカーi 、jおよびマシンu 、vから： c o v（y i 、u、y j 、v）$\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$$\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$$

の場合m2、ランダム効果は次のように分解されます。

$$\gamma = Z \omega + X \eta$$

Zは、前のようにである観測、上作業者ごとランダム切片をマッピングデザイン行列でω T = [ ω 1 、A、ω 1 、B、ω 1 、C、... 、ω 6 、Aは、ω 6 、B、ω 6 、Cは】機械と作業者のすべての組み合わせについてランダム切片の18次元ベクトルです。および$X = I_6 \otimes 1_9$$\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$作業者のためのランダム切片の6次元ベクトルです。これらは以下のように分配される η 〜N（0 、σ 2 η I 6）ω 〜N（0 、σ 2 ω I 18） ここで、 σ 2 η、σ 2 ωこれらのランダム切片の分散です。$\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

$$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$$ $$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$$ $\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

m2$\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$$\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$$

$\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$$\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$ m1

簡潔さは私の長所ではありません。これは、すべてのモデルがランダム効果に対して2つの分散パラメーターを持ち、同じ「限界」モデルを記述する2つの異なる方法であるという長い複雑な方法です。

コードでは...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2