十分な統計量が最小限では不十分であることをどのように示すか？

私の宿題の問題は、特定の統計が一般に最小限では不十分である反例を示すことです。この特定の統計の特定の反例を見つけることの詳細に関係なく、これは私に次の質問を引き起こします：

質問：十分な統計量が条件を満たしていることを証明できる方法で、最小の十分な統計量ではないという条件をどのように定式化できますか？

これまでのところ：私の教科書（Keener、Theoretical Statistics：Topics for a Core Course）での最小の十分な統計量の定義は次のとおりです。

• 統計量は、が十分であれば最小で十分であり、十分な統計量ごとに、 aeような関数が存在します。T 〜T F T = F （〜T）$T$$T$$\tilde{T}$$f$$T = f(\tilde{T})$$\mathcal{P}$

（ae）は、統計モデル、すべての確率分布について、等式が失敗するセットがnullセットであることを意味します。 P P P ∈ $\mathcal{P}$$P$$\mathcal{P}$$P \in \mathcal{P}$

これを否定しようとすると、私は次の場所に到着します：

• 統計値は、以下の少なくとも1つが成り立つ場合、最小値ではありません。 $T$
  1. $T$は十分ではありません。
  2. aeような関数が存在しない、少なくとも1つの十分な統計 が存在します。$\tilde{T}$T = F （〜T）$f$$T = f(\tilde{T})$$\mathcal{P}$

したがって、統計が十分である場合、たとえそれが十分に不十分でなくても、統計が十分ではないことを示すことは非常に難しいようです。（1が偽であるため、1が、代わりに1の2を表示しなければならないので-しかし、1つは、反例の統計がある場合でも、ので、2が示すのは非常に難しいだろう念頭に置いて、1はまだ持っています非存在表示する任意のそのプロパティと機能を。そして、非存在は示すことは困難であることが多いです。）$\tilde{T}$

私の教科書では、統計が最小の十分な統計となるための同等の（つまり、必要かつ十分な）条件を示していません。（十分な統計であることに加えて）統計が最小の十分な統計となるための代替の必要条件さえも与えません。

したがって、私の宿題の問題で、統計が不十分であることを示すことができない場合（それが原因で）、統計が十分でないことをどのようにして示すことができますか？

あなたが述べたように：

が存在し、が、である場合、は関数として書くことができません。つまり、持つ関数は存在しません。$x1,x2∈X$$f(x1)=f(x2)$$g(x1)≠g(x2)$$g$$f$$h$$g=h∘f$

したがって、たとえば、が独立したベルヌーイ確率変数である場合。は関数ではないことを示すことで、最低限十分ではないことを証明できます。関数はと両方にをマップする必要があるため、これは明らかです。$X_1, ...., X_n$$(x_1, ...., x_n)$$\sum x_i$$1$$(1,0,0...,0,0,0)$$(0,0,0...,0,0,1)$

最近、この問題について少し考えていましたが、ここに私が思いついたことがあります。

ましょう次いで、確率空間であるランダム変数測定可能な機能である、ここで測定可能な空間である（指定した -algebra、およびはこの -algebraおよび -algebra に関して測定可能です。の分布は、のプルバックメジャーです。つまり、。そして、統計のX X ：Ω → X X X σ X σ σ Ω X X P X（A ）= P Ω（X - 1（A ））X F ：X → Y $\Omega$ $X$$X: \Omega \to \mathcal{X}$$\mathcal{X}$$\mathcal{X}$$\sigma$$X$$\sigma$$\sigma$$\Omega$$X$$\mathcal{X}$$\mathbb{P}_{\mathcal{X}}(A) = \mathbb{P}_{\Omega}(X^{-1}(A))$$X$は測定可能な任意の関数で、は別の任意の測定可能な空間です。$f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$$\mathcal{Y}$

2つの統計、与えられた場合、「が関数になる」とはどういう意味ですか？ g ：X → Z g $f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$$g: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$$g$$f$

私の知る限り、測定**関数が存在することを意味すると思われるように、すなわちことすることができるを通じて因数分解によっての。、G = H ∘ F G $h: \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$$g = h \circ f$$g$$f$

（つまり、「は関数として適切に定義されている必要があります」。）F （X）⊆ $g$$f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}$

では、いつこのような因数分解が可能になるのでしょうか？等価関係の観点から考えてみましょう。具体的には、等価関係をでによって定義します、同様に、等価関係をで。X 、X 1 〜F のx $\sim_f$$\mathcal{X}$〜G X 、X 1 〜G X $x_1 \sim_f x_2 \iff f(x_1) = f(x_2)$$\sim_g$$\mathcal{X}$$x_1 \sim_g x_2 \iff g(x_1) = g(x_2)$

次に、をで因数分解できるようにするには、同値関係とは、任意の、、すなわち下等価な二つの要素取ることができないアンダー等価でない値にマップすなわち、「以前によって実行情報低減元に戻すことはできません」。F 〜F 〜G X 1、X 2 ∈ X 、X 1 〜F X $g$$f$$\sim_f$$\sim_g$$x_1, x_2 \in \mathcal{X}$ G F G G $x_1 \sim_f x_2 \implies x_1 \sim_g x_2$$g$$f$$g$$g$$f$

言い換えると、は関数として明確に定義されている必要があります。つまり、関数が存在する必要があります、となります。ここで、は正準射影です。（抽象的な不快な人にとって、は本質的にであり、は本質的にです。上記の公式は、他の状況との類似性をより明確にするだけです。）X / 〜F ≅ F （X）〜G：X / 〜F → Z G = 〜G ○はπ F π F X → X / 〜F π F F 〜G$g$$\mathcal{X}/\sim_f \cong f(\mathcal{X})$$\tilde{g}: \mathcal{X}/\sim_f \to \mathcal{Z}$$g = \tilde{g} \circ \pi_f$$\pi_f$$\mathcal{X} \to \mathcal{X}/\sim_f$$\pi_f$$f$$\tilde{g}$$h$

可能な限り簡単な言葉で、は関数として書くことができます。ただし、場合、、。F X 1、X 2 ∈ X F （X 1）= F （X 2$g$$f$$x_1, x_2 \in \mathcal{X}$$f(x_1) = f(x_2) \implies g(x_1) = g(x_2)$

たとえば、とを任意の実数値の確率変数とすると、は次のように書くことができますの関数。ただし、その逆ではありません、しかし butです。 X G ：X ↦ X 2 F ：X ↦ X 、X 1 = X $\mathcal{X} = \mathcal{Y} = \mathcal{Z} = \mathbb{R}$$X$$g: x \mapsto x^2$$f: x \mapsto x$ 1 2 = （− 1 ）2 1 ≠ − $x_1 = x_2 \implies x_1^2 = x_2^2$$1^2 = (-1)^2$$1 \not= -1$

特に、下のすべての等価クラスがシングルトンであると仮定します（つまり、は単射的です）。次いで、常にの関数として書くことができるため、、すなわちことを意味し（一般に、不必要な単射場合、1方向のみが保持されます）なので、条件はとなり、これは簡単に満たされます以下のための任意の。（を定義するには F G F X / 〜F ≅ X F （X 1）= F （X 2$\sim_f$$f$$g$$f$$\mathcal{X}/\sim_f \cong \mathcal{X}$x 1 = x $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$f x 1 = x $x_1 = x_2 \iff f(x_1) = f(x_2)$$f$G ：X → Z H Y ∖ F （X）Y ∈ F （X）、Y = F （X ）のx ∈ X H H ：Y = F （X ）↦ G （X ）F のx ∈ X F （X ）$x_1 = x_2 \implies g(x_1) = g(x_2)$ $g: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}$$h$、それが測定可能である限り、に対して必要なことをすべて実行できます。その後、に対して、いくつかの、をとして定義します。ような一意のがあるため、が単射である場合、これは明確です。より一般的には、これは、でどのを選択しても、が同じ値である場合にのみ定義されます。つまり、$\mathcal{Y} \setminus f(\mathcal{X})$$y \in f(\mathcal{X})$$y = f(x)$$x \in \mathcal{X}$$h$$h: y = f(x) \mapsto g(x)$$f$ $x \in \mathcal{X}$x f − 1（y ）g （x ）f （x 1）= f （x 2）（= y $f(x) = y$$x$$f^{-1}(y)$$g(x)$$f(x_1)=f(x_2)\ (=y) \implies g(x_1)=g(x_2)$。）

また、キーナーの定理3.11を見ると、そのステートメントはちょっと不格好ですが、上記の用語で考えると、次のように書き直すことができると思います。

仮定 ****十分統計量です。次に、が十分に最小であるための十分な条件は、が尤度比の関数として記述できることです。$T$$T$

このことから、尤度比はそれ自体十分に最小でなければならないことがすぐに明らかになります。

これは、次の結論にもつながります。

が存在し、がである場合、は関数として記述できません。つまり、の関数は存在しません。$x_1, x_2 \in \mathcal{X}$$f(x_1)=f(x_2)$$g(x_1) \not= g(x_2)$$g$$f$$h$$g = h \circ f$

したがって、この状態は私が思っていたほど実際に示すことは難しくありません。

* Keenerは、統計が測定可能である必要があるか、任意の関数である必要があるかどうかの問題に対処していません。ただし、統計は測定可能な関数でなければならないことは間違いありません。それ以外の場合は、その分布、つまりプルバックメジャーを定義できなかったためです。

**が測定可能でない場合、と両方が測定可能であり、測定可能な関数の構成が再び測定可能であるため、矛盾があります。少なくとも、はに制限されて測定可能である必要がありますが、これは、ほとんどの場合、がすべてので測定可能な関数（を取る、およびを測定可能なポイントが存在する場合F Gの時間F （X）⊆ Yが H 、F （X）Yが H | F （X）、F （X）Z Y ∖ F （X）Z ∈ Z F （X）Y ∖ F （X）Y H $h$$f$$g$$h$$f(\mathcal{X}) \subseteq \mathcal{Y}$$h$$f(\mathcal{X})$$\mathcal{Y}$$h|_{f(\mathcal{X})}$$f(\mathcal{X})$$z$$Y \setminus f(\mathcal{X})$$z \in \mathcal{Z}$、なお両方のとで測定可能であるべきであるそうWLOG）、すべての上で測定可能であると仮定することができます。$f(\mathcal{X})$$Y \setminus f(\mathcal{X})$$Y$$h$$\mathcal{Y}$

***少なくともこの貫通任意関数ファクタリングの存在のために必要かつ十分であるとにわたって、およびIは考える**このような任意の関数が存在する場合、この関数はまた、両方のため、測定可能でなければならないことを意味し及びつまり、実際には統計ます。f f g Y → $g$$f$$f$$g$$\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}$

****与えられた条件は、分解定理3.6によってで十分であることと同等です。$T$