誰かがどのように依存性とゼロ共分散があるかを説明できますか？

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誰かがGregのように説明できますが、より詳細には、確率変数はどのように依存することができますが、共分散はゼロですか？ここのポスターであるGregは、ここの円を使用した例を示しています。

誰かがこのプロセスをいくつかの段階で説明する一連のステップを使用して、このプロセスをより詳細に説明できますか？

また、心理学の例を知っている場合は、この概念と関連する例を示してください。説明は非常に正確で、順番にしてください。また、結果がどのようになるかを説明してください。

random-variable covariance independence

— user11883
ソース

あなたが参照する記事へのリンクが役立ちます。

— gui11aume 2012年

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トピックがここにあると確信しています：stats.stackexchange.com/questions/12842/…そしてGreg（Snow）の答えはここにあります：stats.stackexchange.com/a/12898/2073

— Andy McKenzie

私が最初にこの質問を閉じることは正しかったと思ったが、私は、おそらくそれは、ここから微妙に異なる質問をすると思いますstats.stackexchange.com/questions/12842/...この質問は正確に理解を求めるように見えながら、そのスレッドだけで、数学的な例を求めたので、 2つが同等ではない理由

— マクロ

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ここでの基本的な考え方は、共分散は特定のタイプの依存関係のみを測定するため、2つは同等ではないということです。具体的には

共分散は、2つの変数の線形関係を示す尺度です。2つの変数が非線形に関連している場合、これは共分散に反映されません。より詳細な説明はここにあります。
確率変数間の依存関係とは、2つの要素が「単独」で動作するのとは異なる方法で「一緒に」動作することを引き起こす、2つの変数間のあらゆる種類の関係を指します。具体的には、確率変数間の依存関係は、それらの共同分布が周辺分布の積にならないようにする2つの変数間の関係を包含します。これには、線形関係や他の多くの関係が含まれます。
2つの変数が非線形に関連している場合、それらは0の共分散を持つ可能性がありますが、依然依存しています。多くの例がここに示され、ウィキペディアの以下のプロットは、下の行にいくつかのグラフィカルな例を示しています。
ランダム変数間のゼロ共分散と独立性が同等の条件である1つの例は、変数が一緒に正規分布している場合です（つまり、2つの変数は2 変量正規分布に従います。これは、2つの変数が個別に正規分布しているのとは異なります）。もう1つの特別なケースは、ベルヌーイ変数のペアが独立している場合にのみ相関がないことです（@cardinalに感謝）。ただし、一般的には2つを同等と見なすことはできません。

したがって、一般に、2つの変数は相関がないように見えるからといって2つの変数が独立していると結論付けることはできません（たとえば、相関がないという帰無仮説を棄却しなかったわけではありません）。データをプロットして、相関のテストで停止するだけでなく、2つが関連しているかどうかを推測することをお勧めします。たとえば、（@ gungに感謝）、線形回帰（つまり、ゼロ以外の相関のテスト）を実行して、有意でない結果が見つかった場合、変数が関連していないと結論づけたくなるかもしれませんが、 veは線形関係のみを調査しました。

私は心理学についてはあまり知りませんが、変数間に非線形の関係がある可能性があることは理にかなっています。おもちゃの例として、認知能力が年齢に非線形的に関連している可能性があるようです-非常に若くて非常に高齢の人は30歳ほど鋭くないです。認知能力と年齢の測定値をプロットすると、中程度の年齢で認知能力が最も高くなり、その周りで減衰することが予想されます。これは、非線形パターンになります。

— 大きい
ソース

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ジャスト側（杓子定規？！）のノートが、ベルヌーイ確率変数は、以下の場合に独立しており、彼らは無相関である場合に限ります。:)

— 枢機卿

@cardinal、私が再び合理性を放棄することを心配しないでください。特異な共分散行列を持つ多変量正規が「一般的に使用され、統計的に関連性がある」と言ったようなものです。

— Macro

次回私がアナーバーにいるとき、その冗談を相殺するためにコーヒーを買います。:)とりあえず私の合理性について質問してください。:)

— 枢機卿

ああ、でもその最後の引用は本当です。;-)それはいくつかの驚くほど一般的な場所に現れます。:)（ここでは少し話題から外れていますが）

— 枢機卿

（+1）この質問を重複として閉じるかどうかについて、私は一種の垣根を越えてきました。しかし、良い答えは非常によく似た質問をする価値があると思います。すべてが相互リンクされていると役立ちます。

— 枢機卿

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相関または共分散を教える/視覚化する標準的な方法は、データをプロットし、「x」と「y」の平均で線を描き、次に、次のように2つの平均の点から個々のデータ点まで長方形を描くことです。

ここに画像の説明を入力してください

右上と左下の象限（例では赤）の四角形（ポイント）は相関/共分散に正の値を与え、左上と右下の象限（例では青）の四角形（ポイント）は負の値を与えます相関/共分散に対する値。赤い長方形の総面積が青い長方形の総面積と等しい場合、正と負が相殺され、共分散はゼロになります。赤の領域が多い場合、共分散は正になり、青の領域が多い場合、共分散は負になります。

前のディスカッションの例を見てみましょう。

ここに画像の説明を入力してください

個々の点は放物線に従います。したがって、それらは依存しています。「x」がわかっていれば「y」が正確にわかっていますが、すべての赤い長方形に対応する青い長方形があるため、最終的な共分散は0になります。。

— グレッグ・スノー
ソース

（+1）Rこれらのプロットを作成するパッケージはありますか（whuberがこのようなプロットを一度表示したことを思い出します）、またはこれを最初から実行しましたか？

— Macro

@マクロ、いい質問ですが、whuberはMathematicaで行われたと思います。polygonまたはrectを使用してRで「手動」でこれを行うのは簡単で、アルファ透明度をサポートするデバイスを使用します。

— 枢機卿

私はこのプロットを行うための関数を書きましたが、おそらくTeachingDemosすぐにパッケージに追加するでしょう。私の最初の考えは、関数の名前として「相関長方形」というフレーズを「正しい」に短縮することでしたが、少し気づいた後、名前はまったく異なることをしていると簡単に誤解されている可能性があります。したがって、より適切な名前を付け、いくつかのオプションを追加して、それをR-Forgeにアップロードする必要があります。

— Greg Snow

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単純なテストの1つは、データが基本的に平均を介して垂直軸または水平軸を中心に対称であるパターンに従っている場合、共分散はかなりゼロに近くなります。たとえば、対称性がy軸の周りにある場合、指定されたyの各値に対して、平均xからの正のx差と平均xからの負の差があることを意味します。これらの値のy * xの追加はゼロになります。これは、他の回答のプロット例のコレクションでうまく示されています。共分散がゼロで独立性は得られない他のパターンがありますが、多くの例は対称性を探すかどうかで簡単に評価できます。

— デビッドB
ソース

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ウィキペディアの例：

「変数が独立している場合、ピアソンの相関係数は0ですが、相関係数は2つの変数間の線形依存関係のみを検出するため、その逆は成り立ちません。たとえば、確率変数Xがゼロに関して対称的に分布し、Y = X ^であるとします。 2.次に、YはXによって完全に決定されるため、XとYは完全に依存しますが、それらの相関はゼロです。これらは無相関です。ただし、XとYが一緒に正常である特殊なケースでは、無相関は独立と同等です。」

— Accssharma
ソース