共分散と独立性？

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私は教科書から、はXとYが独立していることを保証しないと読みました。しかし、それらが独立している場合、それらの共分散は0でなければなりません。適切な例はまだ考えられません。誰かがそれを提供できますか？ $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— 空飛ぶ豚
ソース

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Anscombe's Quartetの簡単なレビューもお楽しみください。これは、2変量データセットによって特定の非ゼロ共分散を実現できるさまざまな方法のいくつかを示しています。

— whuber

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注意すべきことは、共分散の測定は線形性の測定であることです。共分散の計算は、「データは直線パターンを形成しますか？」という質問に答えることです。したがって、データが線形パターンに従う場合、それらは依存しています。しかし、これはデータが依存できる唯一の方法です。「私は無謀に運転していますか？」1つの質問は、「制限速度を25 mph超えて走行していますか？」しかし、それは無謀に運転する唯一の方法ではありません。別の質問は「あなたは酔っていますか？」など。無謀に運転する方法は複数あります。

— アダム

いわゆる直線性の尺度は、関係に構造を与えます。関係が非線形であることが重要であり、これは珍しいことではありません。一般に、共分散はゼロではない、それはhypothetical.The共分散であり、大きさとしない割合を示す

— はSubhash C. Davar

回答:

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簡単な例：を、確率0.5でまたはであるランダム変数とします。次いでせ確率変数であるように場合は、及び、ランダムであり、または確率0.5場合で。 $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

明らかにとは高度に依存しています（知ることでを完全に知ることができるため）が、共分散はゼロです：両方とも平均が0であり、 $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} E [X Y] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & P (X = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & P (X = 1, Y = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & P (X = 1, Y = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

またはより一般的に、任意の分布取ると任意ように、全てに対して（すなわち、結合分布であること軸を中心に対称）、常に共分散はゼロになります。ただし、場合は常に非独立になります。つまり、条件がすべて限界に等しいわけではありません。または、軸の周りの対称性についても同じです。 $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— ジピロー
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これが私がいつも生徒に与える例です。およびランダム変数を取ります。たとえば、平均がゼロの通常のランダム変数です。取ります。とが関連していることは明らかですが、 $X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

c o v (X, Y) = E X Y - E X \cdot E Y = E X^{3} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
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私もその例が好きです。特定のケースとして、N（0,1）rvとchi2（1）rvは無相関です。

— ocram

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+1ですが、マイナーなピックとして、個別に仮定する必要があります（分布の対称性の仮定またはからは従わないため）「トンのような問題を抱えているの形式であることが取り組ん。そして、私は「という@ ocramの主張についてムカムカしていますN（0,1）RVおよびchi2（1）RVは無相関です。」（強調追加）はい、およびは無相関ですが、およびランダム変数はありません。

E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

— ディリップサーワテ

@DilipSarwate、ありがとう、それに応じて答えを編集しました。私がそれを書いたとき、通常の変数についてですが、それらについてはゼロ平均からゼロ三次モーメントが続きます。

— mpiktas

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以下の画像（ソースウィキペディア）の3行目にいくつかの例があります。特に、1番目と4番目の例は強い依存関係がありますが、相関は0（共分散は0）です。

ここに画像の説明を入力してください

— naught101
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他の例では、円または楕円を形成するデータポイントを考えます。共分散は0ですが、xを知っているとyを2つの値に狭めます。または、正方形または長方形のデータ。また、XまたはVまたは^または<または>を形成するデータはすべて共分散0を与えますが、独立ではありません。y = sin（x）（またはcos）でxが周期の整数倍をカバーする場合、covは0になりますが、xはyまたは少なくとも| y |を知っていることを知っています。楕円、x、<、および>の場合。

— グレッグ・スノー
ソース

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ifが「xがピークまたはトラフで始まる周期の整数倍をカバーする場合」、またはより一般的には「xがyが対称である間隔をカバーする場合」

— -naught101

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