単純なマトリックス結果の検証を要求する

仮定であるK × 1確率変数のベクトル。次にしてください確認しているE X "（E X X "）- 1 E X ≤ 1。$X$$k\times 1$$EX^{\prime}(EXX^{\prime})^{-1}EX\leq 1$

ときこれは、よく知られた結果である（E X ）2 ≤ E X 2。しかし、これを一般的にどのように主張するのでしょうか？$K=1$$(EX)^{2}\leq EX^{2}$

してみましょうとΣ = E （X X T）- μ μ T。その後、我々は示す必要が μ T（Σ + μ μ T ）を- 1 μ ≤ $\mu = EX$$\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1.$$

LET ようΣ = C - μ μ T。使い方行列行列補題との存在C - 1我々はそれを見ることができますΣ - 1が正確に存在する場合μ T C - 1 μ ≠ 1。もしμ T C - 1 μ = 1、我々はWLOGので、我々が想定し、行われμ T C - $C = E(XX^T)$$\Sigma = C - \mu\mu^T$$C^{-1}$$\Sigma^{-1}$$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$$\mu^T C^{-1} \mu = 1$。$\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1$$ $\Sigma^{-1}$$c \geq 0$