エントリーの内訳がわからないときに、マルチエントリーコンテストの勝率を見積もることはできますか？

私は締結していたとコンテスト以下のルールで、：

• すべての人が最大6つのエントリを取得できます
• すべてのエントリーがプールされ、エントリーの25％が勝者として選択されます（最大25）。
• エントリーの数に関係なく、各人は一度だけ勝つことができます。誰かの名前が再び描かれた場合、それは破棄され、新しい名前が描かれます。
• 持っているエントリの数を知っています（最大6）
• エントリの種類ごとに分類された合計エントリ数がわかります
• 何人のエントリーが同じ人によるリピートエントリーなのかわかりません。

タイプ別のエントリ数は次のとおりです。

タイプ1：42タイプ2：72タイプ3：119タイプ4：217タイプ5：156タイプ6：178

この状況で勝つ確率を見積もることはできますか？各勝者がプールから削除するエントリの数がわからないため、私は初期の勝者が私のチャンスにどのように影響するかを予測できないという事実に少し混乱しています。

私はデータセットが与えられた解決策に興味がありますが、それを計算するための適切な手順/アルゴリズムにも興味があります。

可能性は17.7％から18.7％です。

最悪のケースは、宝くじにエントリが1つしかない場合に発生します。これは、データと一致する構成です（可能性は低いですが！）。

あなたが勝てない可能性の数を数えましょう。これは、二項係数によって与えられる、残りのチケットからチケットを引き出す方法の数です。（膨大な数です）。可能性の総数は、すべてが公平な抽選で等しく可能性が高いですが、です。比率はに単純化されます。これは約82.22772％で、勝利しない可能性があります。したがって、この状況で勝つ可能性は1-82.22772％= 17.7228％です。784 − $25$$784-6$$\binom{784-6}{25}$（784−25）⋯（784−30）/[（784）⋯（784−5）$\binom{784}{25}$$(784-25)\cdots(784-30) / [(784)\cdots(784-5)]$

宝くじに参加する個人の数ができるだけ少なく、できるだけ多くの人が、次になどのチケットを持っているときに、最良のケースが発生します。「gem」の数が（昇順）であるとすると、これは5 （42 、72 、119 、156 、178 、217 $6$$5$$(42, 72, 119, 156, 178, 217)$

• 最大人は、それぞれエントリを持つことができます。$42 = a_6$$6$

• 最大人は、それぞれエントリを持つことができます。$72-42=30 = a_5$$5$

  ...

• 最大人は、それぞれエントリを持つことができます。$178-156=22 = a_2$$2$

• $217-178=39 = a_1$人はそれぞれエントリを持っています。$1$

ましょう、あなたが保持するときに当選のチャンス指定（間の及びのデータと宝くじ券で）そしてドロー。したがって、チケットの総数はます。次の抽選を考えてみましょう。7つの可能性があります。$p(\mathbf{a}, l, j)$$j$$1$$6$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,\ldots,a_6)$$l=25$$1 a_1 + 2 a_2 + \cdots + 6 a_6 = n$

1. チケットの1つが抽選されました。あなたが勝ちます。この可能性はと同じです。$j/n$

2. 他の誰かのチケットが引かれます。この可能性は等しくなります。彼らがを持っている場合、すべてのチケットが宝くじから削除されます。もし、図は新しいデータで続けて：減少してきた及び減少してきた同様。宝くじでチケットを持っている人が選ばれるは、あなたのチケットが選ばれていない場合、と等しくなります。これにより、つのばらばらな可能性が与えられます。I I L ≥ 1 、L 1 、I 1 、I I A I /（N - J $(n-j)/n$$i$$i$$l \ge 1$$l$$1$$a_i$$1$$i$$ia_i/(n-j)$$i=1,2,\ldots,6$

オーバーラップなしですべての結果を分割するため、これらのチャンスを追加します。

計算は、葉がすべて到達するまで、この確率ツリーを再帰的に続けます。これは大量の計算ですが（約 = 2億4400万回の計算）、数分（プラットフォームによってはそれ以下）しかかかりません。この場合、18.6475％の勝率が得られます。25 $l=0$$25^6$

これが私が使ったMathematicaコードです。（これは、前述の分析に対応するように書かれています。代数の削減とが削減された場合のテストによって、少し効率的になる可能性があります。）ここで、引数は、保持するチケットをカウントしません。誰もが持っているチケットの数の。 0 $a_i$$0$a$j$

p[a_, l_Integer, j_Integer] /; l >= 1 := p[a, l, j] = Module[{k = Length[a], n},
    n = Range[k] . a + j;
    j/n + (n - j)/n ParallelSum[
       i a[[i]] / (n - j) p[a - UnitVector[k, i], l - 1, j], {i, 1, k}]
    ];
p[a_, 0, j_Integer] := 0;
(* The data *)
a = Reverse[Differences[Prepend[Sort[{42, 72, 119, 217, 156, 178}], 0]]];
j = 6; l = 25;
(* The solution *)
p[a - UnitVector[Length[a],j], l, j] // N

現実を確認するために、これらの回答を2つの単純な近似（どちらも正しくない）と比較してみましょう。

1. プレー中の6チケットで25の抽選は、784の勝利のうち約6 * 25を獲得するはずです。これは19.1％です。

2. 勝てない可能性は毎回約（784-6）/ 784です。宝くじに当たらないチャンスを見つけるには、これを25乗します。1から引くと17.5％になります。

私たちは正しい球場にいるようです。

私が数学で正解した場合、あなたは賞金を獲得するチャンスとその間19.43%に21.15%チャンスがあります

これ19.43%は、すべての参加者が6枚のチケットを持っている最良のシナリオです。

これ21.15%は最悪のシナリオで、すべての参加者があなた以外のチケットを1枚持っています。

どちらのシナリオも非常にありそうもないので、勝利の実際のオッズはおそらくその中間にありますが、勝利のおよそ1/5のチャンスはかなり確かな数字のようです

これらの数値の取得方法の詳細は、このGoogleスプレッドシートに記載されていますが、取得方法をまとめています。

1. 始まるエントリの合計番号（784）とあなたのエントリ（6）
2. 勝つチャンスを得る（6 / 784 = 0.77%）
3. 最良の場合は6を、最悪の場合は1を引きます。 TotalEntries
4. 勝利のチャンスを得る（6/778ベストケースのための6/783最悪の場合のために）
5. 25パーセントになるまで手順3〜4を繰り返します。
6. 25パーセントを合計して、何かを獲得する全体的な可能性を見つけます

簡単な概算のパーセンテージを取得する別の方法を次に示しますが、勝者を引くたびに重複するエントリを削除しないため、正確ではありません。

6 (your tickets) / 784 total tickets = 0.00765
0.00765 chance to win * 25 prizes = 19.14 % chance to win

編集：私は数学に何かが欠けていると確信しています、そして私は私が近いと思うが、このようなパーセンテージを単純に追加することはできない（または賞金の数で勝つためにパーセントの確率を掛ける）

Whobarのコメントは、17.4％の勝率を与えますが、彼が与えた式を理解し、コンテストに正確であることを確認する必要があります。おそらく週末のプロジェクトです:)